全等三角形性質(zhì)的拓展

宋陽

摘 要：我們經(jīng)常會聽到學(xué)生反饋信息說：為什么考試考的題目我們都沒有，如何把拓展知識融合到新授課當(dāng)中，把學(xué)生解題的難點分散，是我們急需解決的問題。以全等三角形性質(zhì)一課為例，談?wù)劰P者是如何應(yīng)用教材，把知識難點在新授課中分散的。對于學(xué)生而言“全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等”這一性質(zhì)很容易理解，但是運用起來卻較為靈活，而且其拓展使用方法也很多，我們可以分階梯式進(jìn)行引領(lǐng)。

關(guān)鍵詞：全等三角形;性質(zhì);拓展

學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動和富有個性的過程。學(xué)生除認(rèn)真聽講外，積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。讓學(xué)生直觀感受無論是平移、翻折、對稱、旋轉(zhuǎn)，在圖形的變換過程中，全等三角形性質(zhì)始終成立。由簡單到復(fù)雜，由單次變換到多次變換，在不同變換中衍生出不同的結(jié)論。

由全等三角形的性質(zhì)可以得出相等的線段和相等的角，以此為基礎(chǔ)，你還能找出新的相等的線段和相等的角嗎？理論依據(jù)是什么？

例1：下圖中△ABC≌△DEF，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，請寫出相等的線段.

把全等的兩個三角形通過平移、翻折、對稱、旋轉(zhuǎn)的變換，學(xué)生很容易在其中找到相等的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，在此基礎(chǔ)上我們還需讓學(xué)生明白的是數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步延伸與遷移。《幾何原本》一書中提到等量加等量，其和仍相等;等量減等量，其差也相等。如圖1，由△ABC≌△DEF得到AB=DE，再由AB-AE=DE-AE， 可得AD=BE，通過全等三角形對應(yīng)邊相等把線段的等量數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步延伸.

例2：下圖中△ABC≌△DEF，請寫出相等的角.

同樣全等三角形對應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系也可以進(jìn)一步延伸。與線段的延伸方式相同，我們還需讓學(xué)生明白的是數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步延伸與遷移。《幾何原本》一書中提到等量加等量，其和仍相等;等量減等量，其差也相等。如圖4，由△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠DCE，再由∠ACB=-∠ACE =∠DCE-∠ACE ， 可得∠ECB=∠DCA，通過全等三角形對應(yīng)角相等把角的等量數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步延伸.

例3：下圖中△ABC≌△DEF，請寫出相等的角.

全等三角形對應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系的延伸還有另外一種角度。如圖4，由△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠DBC且∠ABC=∠DCB，

再由∠DBA =∠DBC-∠ABC，∠ACD=∠ACB-∠DCB 可得∠DBA=∠ACD，通過全等三角形的兩組對應(yīng)角相等，把相同的對應(yīng)角分別相加或減得到新的相等角。同時讓學(xué)生找出圖中的對頂角相等，公共角相等，公共邊相等，這些特殊位置的線段和角對全等三角形判定有著一定的作用，以此打下基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的圖感。

例4：下圖中△ABC≌△DEF，點A，B，E在同一直線上，可證出哪些線段的位置關(guān)系.

除此之外，全等三角形的對應(yīng)角還有另外一個作用——判定直線的位置關(guān)系。如圖9，全等三角形相等的對應(yīng)角也是相等的內(nèi)錯角，∠F=∠F，證出EF∥BC;如圖10，全等三角形相等的對應(yīng)角也是互補(bǔ)的鄰補(bǔ)角，所以∠CAB=∠CAE=90°，證出CA⊥BE。如圖11，全等三角形對應(yīng)角相等結(jié)合直角三角形兩銳角互余的數(shù)量關(guān)系，可得出∠BAC +∠EAD=90°，證得AC⊥AD。由角的數(shù)量關(guān)系到直線位置關(guān)系的轉(zhuǎn)換是比較難理解的一個過程，需要對學(xué)生加以引導(dǎo)，讓其聯(lián)想所學(xué)過的知識慢慢體會。

例5：下圖中△ABC≌△DEF，圖12點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，圖13.14點A，B，E在同一直線上，可證出哪些特殊的三角形.

通過全等三角形的性質(zhì)，得到對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，再通過對對應(yīng)線段對應(yīng)角的研究，進(jìn)一步得到新的相等線段，相等角，乃至直線的位置關(guān)系，通過這些新的數(shù)量關(guān)系，還可以得到特殊的幾何圖形，甚至是新的全等三角形。如圖12，可以得到等腰△AFC以及△ABF≌△AEC;如圖13，可以得到等腰△CBE及直角△CAB和直角△CAE;如圖14，可以得到等腰直角△ACD.

結(jié)論

我們在經(jīng)常遇到全等三角形通過圖形變換后的題目，直接讓學(xué)生解題，卻忽略在教授過程中讓學(xué)生感受圖形變換中不變的量，以及衍生出的新的數(shù)量關(guān)系以及圖形特點。通過圖形變換感受其中數(shù)的不變性，再由數(shù)的不變性得到形的關(guān)系，是我們應(yīng)該讓學(xué)生明白的數(shù)形之間的本質(zhì)，由小見大，應(yīng)用的增多，開拓思維，增長見識。