電流功計算公式的嚴格推導

劉霽華

(常州市教育科學研究院，江蘇 常州 213002)

1 電流功計算公式的傳統推導

關于電流功公式的推導,常見的國內教材[1]以及國外教材[2]的推導都比較統一:某段電路左右兩端的電勢差為U,在電荷q從左端移到右端的過程中,靜電力做的功是W=qU.因為q=It,代入得W=IUt.這個證明視乎非常簡單.

2 電流功計算公式的傳統推導的不足

圖1

設導線中電荷定向移動的速率為v，導線橫截面積為S,q=It是處于長為vt橫截面積為S的圓柱體中自由電荷,即圖1中虛線部分的自由電荷.這部分電荷在t時間內可進入電壓為U的電場區域,即圖1實線部分導體中,但這部分電荷只是受到或部分受到電壓U的電場加速.圖1實線部分導體中同時還有其他自由電荷被電場力做功,所以電量公式q=It中的q與公式W=qU中的q不是同一對象，推導用q=It直接代入似乎是在“套公式”,顯得不夠嚴謹.

3 電流功計算公式的分段法推導

t秒內被電壓U的這段導體中電場做功的電荷為導體中本身已有的電荷以及緊鄰這段導體的長為vt的一段導體中q的電荷,它們在這段導體中通過的距離和是不同的,因而電勢差也不同.設該導體單位長度的自由電荷數為n、每個自由電荷的電荷量為q,電壓為U的這段導體長為L,這段導體本身的電荷量為nLq.

(1) 若vt>L, 這段導體本身的電荷nLq將全部通過這段導體,沿電流方向,t秒內處于其最右端一層的電荷,電場沒有對其做功,處于其最左端一層的電荷(設電荷量為q0)完全經過這段導體,所以電場做功為W=q0U,所以電壓為U的這段導體的電場對本身的電荷所做的功為

(1)

圖2

與其相鄰的vt長的導體中,如圖2只有(vt-L)的前部分的電荷全部經過的電勢差為U電場做功,長為L后部分同(1),所以

(2)

這樣t秒內電勢差為U的這段導體的電場對通過其中的電荷所做的功為

由于I=nqv,代入得W=IUt.

圖3

(3)

(4)

4 電流功計算公式的等效法推導

顯然這里的分段法推導是比較復雜的,大家應該還是認為用書本上的推導方法簡單,但書本上用q=It代表W=qU中的陳述又是不準確的,那么在平時教學或教材編寫中應該如何處理呢?我們應該通過比較嚴謹的等效思想的陳述來完善推導:t秒流入導體的電量為q=It，流出這段導體的電量也為q=It,由于流入和流出的電量都為q,這樣“等效”于t秒有電量為q=It的電荷“通過”了電勢差為U的這段導體,代入W=qU得W=IUt.在這里的陳述中運用了等效思想,這樣的q才是通過L的全部經過電壓U做功的電荷,符合W=qU中q的本意.當然這里等效思想的正確性應該有基礎,這個基礎就是上面的分段法推導.

有些物理本真的問題,我們需對其進行深刻的思考,才能發現其內隱的真實過程,才能使得其研究過程符合物理本質,從而使學生的物理學科核心素養培養建立在科學過程的基礎上.