對浙江省2019年高考傳輸帶試題的質疑

胡君亮 陳 怡

(浙江省永康市第二中學,浙江 永康 321300)

浙江省2019年4月份高考物理試卷中,設計了一道以傳輸帶運輸沙粒為情景的試題．

原題.某砂場為提高運輸效率,研究沙粒下滑的高度與砂粒在傳送帶上運動的關系,建立如圖1所示的物理模型．豎直平面內有一傾角θ=37°的直軌道AB,其下方右側放置一水平傳送帶,直軌道末端B與傳送帶間距可近似為0,但允許砂粒通過．轉輪半徑R=0.4 m、轉軸間距L=2 m的傳送帶以恒定的線速度逆時針轉動,轉輪最低點離地面的高度H=2.2 m．現將一小物塊放在距離傳送帶高h處靜止釋放,假設小物塊從直軌道B端運動到達傳送帶上C點時,速度大小不變,方向變為水平向右．已知小物塊與直軌道和傳送帶間的動摩擦因數均為μ=0.5．

圖1 傳輸帶模型

(1) 若h=2.1 m,求小物塊到達B端時速度的大小;

(2) 若小物塊落到傳送帶左側地面,求h需要滿足的條件;

(3) 改變小物塊釋放的高度h,小物塊從傳送帶的D點水平向右拋出,求小物塊落地點到D點的水平距離x與h的關系式及h需要滿足的條件．

其中,第二小題提供的參考答案如下.

沙粒要從傳輸帶的左側離開,則沙粒運動到D點速度為0．設沙粒從直軌道開始運動的高度為h,根據動能定理,有

代入數據解得h=3.0 m,則起始高度應小于3 m．

問題是:沙粒運動到D點時速度不為0,沿著皮帶再往下滑,到一定角度才減速為0,接著再在摩擦力的作用下運動上來,這樣的情景可能發生嗎?如果可以發生,那么參考答案是錯誤的,答案應該大于3 m．

為此,我們進行了一些研究．

1 實驗探究

取一段直徑略大于自行車輪胎的塑料管,鋸開一個口子,讓塑料管能套在自行車的輪子上,可以滑動．

如圖2所示，把自行車輪子朝上,轉到腳踏板,輪子逆時針轉動．塑料管用細線拉著,把塑料管慢慢的從下往上拉．當拉到某一位置時,可以看到細線松弛．說明此時重力、支持力和摩擦力達到平衡．再往上拉一點點,塑料管就被自行車輪子帶上來了．

圖2 塑料管平衡位置

如圖3所示，去掉細線,自行車輪子依舊逆時針轉動．手指在輪子的最高點,擋住塑料管．給塑料管一個向右的速度,塑料管沿著輪子往下滑動,減速為0后有被輪子帶動上來．稍微增大推動塑料管的初速度,塑料管還是能上來．再增大初速度,直至塑料管滑下后不再上來．

以上實驗表明,試題中沙粒運動到D點時速度可以不為0．

圖3 塑料管最低點位置

2 初步研究

圖4 受力分析圖

沙粒從D到B做減速運動,其逆過程是從B到D的加速過程．先不考慮由于圓周運動速度產生的向心力導致皮帶輪對沙粒彈力的影響,有Ff=μFN=μmgsinθ,以此來估算沙粒到達D點的速度大小．

根據動能定律,有

得到

由于是圓周運動,沙粒受到的彈力比上述假設的小,摩擦力也小,摩擦力做功也小,因此這樣解得的速度是偏大的．

3 定量研究

沙粒沿傳輸帶圓弧往上滑動是一個變加速運動,根據牛頓運動定律,其切線方向的加速度為

在法線方向,根據圓周運動有

聯立兩式得

而

這樣可以得到

這個問題難就難在沙粒的速度v是個角度θ的函數,導致摩擦力既與角度有關,又與速度有關,必須用微分方程求解．

沙粒圓周運動的彈力FN滿足圓周運動方程

根據動能定理可得,在角度為θ的時候,有

把FN=mg(sinθ-Θ)代入得

兩邊消去mgR得

部分積分得

對θ取微分,有

這是一階線性微分方程,它的特解為

其中C為常數．

當θ=θ0時,v=0,也就是Θ(θ)=0．即

沙粒的速度

4 正確答案

設沙粒從直軌道開始運動的高度為h,從A到D的過程,根據動能定理,有

代入數據解得h=3.12 m,則起始高度應小于3.12 m．

很顯然,這樣的結果不是學生在考試時能夠求解的．許多優秀學生只能發現問題,但無法得到正確的答案,白白浪費了考試時間,影響考試情緒,這是命題者的失誤．