高等數(shù)學(xué)極限概念教學(xué)難點(diǎn)分析及其突破

劉蘇兵 李鈺 安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院

作為微積分理論的重要組成部分，極限是微積分教學(xué)過程中一個重要的組成部分，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，面對出現(xiàn)的問題作為教師不能回避，只能直面教學(xué)中的苦難，尤其是在ε精確定義的過程作為教學(xué)的一個難點(diǎn)，多年來一直困擾著廣大的一線教學(xué)人員。總之，多年以來有很多專家學(xué)者對極限進(jìn)行了研究，但是教學(xué)過程中的問題并沒有得到切實(shí)的解決。為此，我們認(rèn)為，極限概念教學(xué)的過程中必須要有一個全面的認(rèn)識，這樣才能精準(zhǔn)解決教學(xué)中的邏輯結(jié)構(gòu)問題，但是理論提出并為問題的解決提供多大的幫助。

本文從極限概念的教學(xué)重難點(diǎn)為突破點(diǎn)進(jìn)行分析，力求找出極限概念教學(xué)過程中遇到的難點(diǎn)，為何會出現(xiàn)這樣的難點(diǎn)，然后尋找行之有效的解決策略。

一、極限概念教學(xué)的難點(diǎn)

極限概念經(jīng)常出現(xiàn)在《微積分》、《高等數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)分析》的教材中，其概念難點(diǎn)多且密集并與后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容具有很強(qiáng)的邏輯聯(lián)系，具體主要有以下幾方面的體現(xiàn)：

（一）對極限概念的教學(xué)時學(xué)生易產(chǎn)生混淆

極限概念的定義是“若當(dāng)x無限接近于a時，則有函數(shù)f（x）的值是無限接近于L，則稱L是函數(shù)f（x）當(dāng)x趨近于a時的極限，記為”但是對于這個定義的說法是不夠嚴(yán)密的，教學(xué)的過程中教師也會這樣解釋“當(dāng)自變量與某個數(shù)值越來越接近時，就是函數(shù)的極限了”。這樣說學(xué)生則會認(rèn)為函數(shù)的極限是永遠(yuǎn)達(dá)不到的一個數(shù)，或者是說在某個點(diǎn)上會接近某個數(shù)值，但是這種理解是不對的，如果當(dāng)常值函數(shù)f（x）≡1，在任何情況下無論x怎么變化，f（x）都不是越來越接近于1，而是始終等于1，然而其極限卻是1，由此可以說，函數(shù)極限的函數(shù)值是一種趨勢，也要就是即將要達(dá)到。

（二）定義種類繁多且較為抽象

極限的ε精確定義多達(dá)28種，面對這么多的字母表達(dá)的內(nèi)容學(xué)生非常容易混淆，并且在教學(xué)的過程中面對函數(shù)值的變化一會兒是“任意ε＞0”，一會兒是“任意M＞0”這樣自變量的極限點(diǎn)的領(lǐng)域就變得左右不定了，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中就會造成理解上的偏差，學(xué)習(xí)的過程中就會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，并且還會發(fā)生張冠李戴的現(xiàn)象。

（三）用精確定義驗(yàn)證極限有難度

1、用ε精確定義驗(yàn)證極限，證明形式獨(dú)特

這里說的證明和我們常規(guī)的證明是有一定的區(qū)別的，平常的證明都是由已知向目標(biāo)進(jìn)行邏輯推理證明，這種證明的條件是結(jié)論的必要條件，但是在極限的證明過程中，往往采用的就是通過結(jié)果找到已知，看一看是否能夠完全符合，這樣的過程就是通過結(jié)論去找尋充分條件。

2、需證明的極限種類繁多，且各類證明之間差異較大

極限的定義多達(dá)28種，但是學(xué)習(xí)的過程中我們要求學(xué)生進(jìn)行精確的驗(yàn)證，但是不同類型的極限是需要不同方法證明的，但是這個過程有很大的差異性，學(xué)生學(xué)習(xí)過程就要熟記這種差異。

3、用ε精確定義驗(yàn)證極限的技巧性強(qiáng)

強(qiáng)技巧性是ε精確定義的一大特點(diǎn)，但是這個過程是非常不易掌握的，對于多個已知的篩選和縮放，對于附加條件的選取并合并；復(fù)合函數(shù)中內(nèi)外條件嵌套的技巧等。

4、學(xué)生不易將證明過程表述清楚

極限的學(xué)習(xí)具有強(qiáng)抽象性與邏輯性的，但是在驗(yàn)證的過程中需要采用多種的技巧與種類繁多的知識，面對這樣的問題學(xué)生很難將證明的過程進(jìn)行表達(dá)，也是極限概念學(xué)習(xí)中最困難的部分。

二、極限概念教學(xué)難點(diǎn)的突破策略

作為教師要解決教學(xué)中遇到的問題就需要自己依據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)來找尋教學(xué)的新思路，這樣才能突破教師教學(xué)的窘境，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（一）各個擊破，分散難點(diǎn)

極限的學(xué)習(xí)過程中面對眾多的教學(xué)難點(diǎn)要各個擊破，這樣才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的扎實(shí)程度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，也能提高教師的教學(xué)效率。

1、部分難點(diǎn)前置

教師教學(xué)的過程在掌握教材編排的基礎(chǔ)上，進(jìn)行小范圍的更改，可以將難點(diǎn)進(jìn)行前置，例如：取整、任意大小的區(qū)分等。

2、將數(shù)列極限的內(nèi)容后置于“級數(shù)”一章

數(shù)列作為一個特殊的函數(shù)與極限相比有著自身的特點(diǎn)，并且函數(shù)的內(nèi)容也相對較難，所謂教學(xué)的過程中要將極限置于“數(shù)列”部分，這樣就可以使函數(shù)極限的內(nèi)容更加具有邏輯性，也能夠降低學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難度，使得學(xué)習(xí)具有簡潔性。

3、將包含函數(shù)極限各種精確定義的、原本為一個整塊的內(nèi)容一分為三

國內(nèi)的教材編排過程中極限的定義和性質(zhì)都是集中進(jìn)行編排，但是事情都是有兩面性的，雖然從內(nèi)容上顯得緊湊，但是學(xué)習(xí)的過程中難點(diǎn)卻相對集中，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個很大的挑戰(zhàn)，所以我們可以將這部分內(nèi)容進(jìn)行分割：（1）解析極限的精確定義和驗(yàn)證；（2）單側(cè)極限定義：（3）與無窮相關(guān)的極限定義。

（三）淡化形式，降低難點(diǎn)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是用符號來表述極限的內(nèi)容，數(shù)學(xué)知識點(diǎn)作為高度符號化、形式化的集中，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了很多的困難，但是我們在教學(xué)的過程中，作為教師就要在保證科學(xué)性的前提下，注重學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)，這樣的課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容就變得通俗易懂了。

1、注重學(xué)習(xí)的合理性

學(xué)習(xí)過程中教師作為教學(xué)的引導(dǎo)者必須要注重學(xué)生學(xué)習(xí)的合理性，知識的學(xué)習(xí)是一成不變的，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中是具有多變性的。學(xué)習(xí)過程中知識的安排要具有合理性。

2、不必刻意追求理論的完整性和系統(tǒng)性

高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的過程中，極限的編寫中某些內(nèi)容可以不給學(xué)生呈現(xiàn)，極限定義的28種形式可以不必讓學(xué)生完全掌握，通過列舉典型定義就可以，其余可以作為練習(xí)題來呈現(xiàn)。

（四）因材施教，控制難點(diǎn)

學(xué)生教學(xué)的過程中，作為教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析，并且要針對學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與接收能力設(shè)定教學(xué)計(jì)劃，并且要針對不同專業(yè)的學(xué)生注重教學(xué)的側(cè)重，控制好難易度。對于理工科的學(xué)生我們必須要讓他們?nèi)嬲莆罩R，能夠理解證明學(xué)習(xí)中的定理與性質(zhì)；對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我們必須讓他們掌握極限驗(yàn)證中的主要內(nèi)容，并能對教材中的定理性質(zhì)以及運(yùn)算法則進(jìn)行良好的掌握；為此要依據(jù)專業(yè)來設(shè)定教學(xué)的內(nèi)容與難易程度。

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為提升學(xué)生技能服務(wù)的，作為教師要充分理解教材編者的思路，在對教材進(jìn)行全面研究和理解的基礎(chǔ)上，以學(xué)生學(xué)習(xí)的水平為教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，這樣才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的水平，提升課堂教學(xué)的效果與教學(xué)的效率，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。