“雞兔同籠”問題蘊含的數(shù)學思想和解決策略

徐慶 深圳市龍華區(qū)清湖小學

“雞兔同籠”問題的題意是：雞和兔關在一個籠子里，數(shù)它們的頭一共有35個，數(shù)腿一共有94只，請問雞和兔各有幾只？

一、“雞兔同籠”問題蘊含的數(shù)學思想

解決“雞兔同籠”這個問題的方法與數(shù)學思想有一定的對應關系。假設的思想和假設法，方程的思想和方程法，枚舉的思想和列表法，數(shù)形結合的思想和畫圖法，通過學習雞兔同籠問題，解決雞兔同籠的類問題，滲透的是建模思想等。

“雞兔同籠”作為一類有趣又重要的數(shù)學問題的代表，出現(xiàn)在各種教科書中，也出現(xiàn)在不同年級的教材中。北師大版小學數(shù)學教材，將此內(nèi)容安排在第九冊課本數(shù)學好玩部分。

解決“雞兔同籠”問題時，第九冊教材展示了學生通過嘗試與猜測，運用列表法逐步解決問題的過程，假設法和方程法也是五年級學生解決該類問題的一般方法，多種解決方法背后蘊含數(shù)學思想，基于方法與思想的解決問題策略，應結合學生的可接受水平起來考慮。

二、“雞兔同籠”問題可能的解決策略

1、用假設法列算式，假設籠子里所有的都是雞，則腿有70條。實際上腿有94條，少了24條腿，就要將部分雞換成兔子，每將一只雞換成兔子，腿就多2條。所以共需換掉12只雞，即籠子里兔子有12只，則雞有23只。

2、列一元一次方程，設籠子里雞有x只，那么兔就有（35-x）只。列方程2x+4×(35-x)=94，解方程得x=23，也就是雞有23只，則兔有12只。

3、列二元一次方程組，設籠子里雞有x只，兔有y只，則x+y=35，2x+4y=94，解方程組得x=23，y=12，也就是雞有23只，兔有12只。

4、取中列表法，雞的數(shù)量從中間開始猜，假設有17只雞18只兔，則有腿2×17+4×18=106條，多了12條腿，則減少6只兔增加6只雞，所以雞有23只兔有12只。

5、跳躍列表法，從1只雞開始，跳著猜。若10只雞，25只兔，則有120條腿，得減少兔的數(shù)量；若20只雞，15只兔，則有100條腿，多6條腿，減少3只兔；即有23只雞，12只兔。

6、逐一列表法，從1只雞開始，一只只嘗試猜下去，借助列表記錄數(shù)據(jù)，得出12只兔，23只雞，一共有94條腿。

7、畫圖法，用小棒代替腿畫圖，根據(jù)腿的總數(shù)94只，調(diào)整數(shù)量，畫圖得出12只兔，23只雞。

……

三、“雞兔同籠”問題的教育價值

結合教學實錄的教學過程中的重難點突破：

1、動畫激趣，鋪墊問題。“一個籠子里有雞和兔共9只，雞和兔各可能有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)：①數(shù)據(jù)不大，學生容易聚焦列表法，特別是逐一列表法，順勢引導學生有序思考、有序記錄，為后面的學習作鋪墊；②學生可能會寫出“0、9”的情況，因為雞兔同籠，“0、9”這種情況在這道題里面不考慮，但是極端思想這種常用的數(shù)學思想可以滲透；③動畫中關于“雞兔同籠”的數(shù)學史，對學生進行數(shù)學文化的熏陶和感染，激發(fā)學生探究的熱情；④此環(huán)節(jié)引導學生用數(shù)學的方法記錄數(shù)學思考的過程。

2、獨立嘗試，提出問題。“一個籠子里有雞和兔共9只，它們的腿一共有26只，雞和兔各有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)，數(shù)據(jù)不大，根據(jù)上面的鋪墊，采用逐一列表法的學生較多，假設算術策略、方程策略、畫圖策略等也有。列表這種解決問題的策略，讓學生獲得初步的成功體驗，感知有序記錄是有用的。在這一環(huán)節(jié)要讓所有的學生根據(jù)自身的可接受水平，至少能使用一種可接受的解題策略，落實數(shù)學問題中的“教育價值”。

3、再次嘗試，解決問題。解決雞兔同籠原題“一個籠子里有雞和兔共35只，它們的腿一共有94只，雞和兔各有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)，學生有了前面的嘗試，因為原題數(shù)據(jù)較大，一一列舉的方式會變成跳躍式嘗試和取中嘗試，假設思想、數(shù)形結合思想、方程思想在這一環(huán)節(jié)也有體現(xiàn)。更進一步引導學生用數(shù)學的方法記錄思考的過程，再次嘗試”體現(xiàn)了對“初次嘗試”的提升。

4、小結提升，延展問題。小結是從解決問題的過程到結果的累積，鼓勵孩子們總結“雞兔同籠”這個古代趣題和類問題的聯(lián)系，滲透建模的思想。

五年級的學生，方程法遠比畫圖、列表之類的方法要快捷、簡便，這是雞兔同籠問題的數(shù)學價值；對于約50人的班級，結合學生的可接受水平不一樣，定位于不同的解題方法，是雞兔同籠這個數(shù)學問題的教育價值。正如滲透數(shù)形結合思想的畫圖法，低年級學生會首先選用，也適用于原有經(jīng)驗積累還不夠的高年級學困生。

“雞兔同籠”問題解決方法的多樣化，蘊含數(shù)學思想的多元化，根據(jù)學生的可接受水平，定位于不同的解題策略，也就是數(shù)學問題的教育價值。