從“神奇的莫比烏斯帶”一課看數學問題的教育價值

蘇清偉 深圳市龍華區清湖小學

1 莫比烏斯帶簡介

莫比烏斯帶是由數學家莫比烏斯(Mobius，德國，1790~1868)于1858年發現的，它是存在于三維空間中的一個環帶體，其性質是這個環帶體只有一個面，在數學中被稱為拓撲圖形，用一個民間小故事來解讀一下莫比烏斯帶：

“聰明的捕快”：有一天，縣衙里的捕快抓了個小偷，縣太爺發現那個小偷是自己的外甥，于是遞給捕快一張紙條，紙條的正面寫著：“小偷應當放掉”、背面寫著“農民應當關押”。捕快很正直，收到紙條后就想該怎么辦。終于，他想出了一個法子。捕快將紙條轉了半個圈重新粘貼，并從“應當”處斷開，形成了一張新的紙條，于是他當眾宣讀：“應當放掉農民，應當關押小偷。”縣太爺知道了很生氣，叫來捕快問話，但是一看捕快手里的紙條，那確實是他自己的筆跡，無奈只好放掉農民。

其邏輯推導過程：假設(小偷)“應當放掉”這四個字寫在紙條的正面，這個命題成立(p)，那么剪斷紙條后，“應當放掉”(農民)這四個字寫在紙條的反面，推出前面的命題不成立，反之亦然，在這里推出了一個矛盾等價式。由命題真可推出命題假，由命題假可推出命題真，這一悖論邏輯與說謊者悖論的邏輯一致。

2 教學內容設計

數學綜合實踐課的學習中學生才是最絢麗的舞者。這樣的思想使我對“莫比烏斯帶”的教學進行了重新設計。課程伊始，“步入奇妙的魔幻世界”環節中，我讓將長方形紙條粘貼成“莫比烏斯帶”的學生滔滔不絕地向同學介紹他那饒有創意的作品。孩子們贊同地接受著這個新鮮的事物，并嘗試著制作。面對前后兩個不同做法制作的圓環和“莫比烏斯帶”，孩子們提出了自己的疑問：“圓環和莫比烏斯帶有什么不同？”“為什么圓環有1個面，莫比烏斯帶有2個面？”“還有什么方法做出各種神奇的帶子？”“莫比烏斯帶有什么用？”面對雜亂的提問，有的學生提出要歸類整理下，提高解決問題的效率。我驚訝于孩子們的想法，我相信孩子們會將更多的數學知識應用到生活中。

3 教學思想

本節課程體現了現代數學中“數學活動”的概念。但教師是否足以讓學生在活動中感受到移動服的神奇？數學游戲不僅要讓學生認識到數學的樂趣，還要讓學生清楚地了解數學。在學生的頭腦中研究數學問題的種子，即使他們沒有完全理解它們。如果沈元先生沒有在數學課上播下哥德巴赫猜想的種子，那么陳景潤是如何奪取數學之珠的呢？作為一名數學老師，應該讓學生在數學課上提出問題并引導學生思考。

4 教學策略

教師需要引導學生關注莫比烏斯帶的邊緣和普通幾何圖形的邊緣是不同的。普通圖形的兩側是直的，例如矩形和正方形。如果它是圓形或橢圓形，則莫比烏斯帶的側面是彎曲的一側，但是圓形和橢圓形的彎曲側面是不同的。橢圓的表面在二維平面中創建，但是移動區域的彎曲側不能在二維平面中創建。它只能在三維平面上生產。當計算直邊或彎曲的邊數時，必須是光滑的，沒有轉折點。例如，矩形具有四個角度。因此，四條邊是圓形，橢圓形，莫比烏斯帶的邊是光滑的，沒有折角，所以它是一條邊。

5 小結

數學問題和數學問題解決活動的領域和范圍，數學知識社會建構的學習背景以及學校數學是集體實踐的思維背景都顯示出與原始研究框架的差異。與此同時，他們都展示了一種新的研究視角和方向，即他們需要關注學校數學之外的共同點。人類學習和解決問題的情況和特點。正是基于這種理解，我們才會走出原始的研究框架，即不是從數學課程和數學教學中考慮問題解決和數學教學，而是首先考慮學習的基本性質，從如何人們學習，這種學習方法對教學提出了什么樣的要求和啟示。探究問題解決和數學教學，因為數學學習的主題和數學教育的對象都是需要挖掘自己學習潛能的學習者，包含無限的創造力和獨特性，而不是等待容器填寫知識。只有這樣，我們才能尊重和遵守人類自身的學習規律，并符合當前的形勢。知識，學習和教學可以真正滿足當前社會轉型中創新人才的需求。