對高中數學函數奇偶性的多重分析

盧沛奇

重慶市求精中學校 重慶 400000

高中數學課程中函數的奇偶性是非常重要的章節，在數學學習中對于函數的奇偶性掌握的要求也越來越高，在高考有關求參數極值，函數單調性，導數的應用等問題中，函數的奇偶性能對問題的解法提供一個不錯的思路與優化。因此，更深入地研究函數奇偶性，能讓我們更好地掌握函數的特征，從而能更好地理解與應用[1]。

1 函數奇偶性的概念

1.1 函數奇偶性的定義

奇偶函數的定義：一般地，設一個函數y=f（x）的定義域是為B，如果對于任取的x∈B，都有f（-x）=f（x）則函數y=（x）是偶函數；若對于任取的x∈B，都有f（x）=-f（x），則函數y=f（x）是奇函數。

1.2 奇偶性的函數特征

對于奇函數而言，根據定義可知若定義域內存在一點（x0,y0），則很方便得到與其對應的-x0點坐標為（-x0,-y0）；同理對于偶函數而言，若定義域內存在一點（x0,y0），則其對應點為

（-x0,y0）。另一方面奇偶性在函數的圖像上也有著非常鮮明的特征：偶函數在圖像上關于y軸對稱，而奇函數圖像則關于坐標原點中心對稱。

2 函數奇偶性的重要性

高中數學函數中的奇偶性性質是函數的重要性質之一，它在我們學習的代數、三角以及高等數學中都有著非常廣泛的應用，近幾年的中學各類考試中，經常會出現關于函數奇偶性的一些題型，一般出現在填空、選擇、判斷、證明、求值等題型中。在函數學習過程中利用奇偶性，一方面可以更為準確的做出函數圖像，從而更好的了解函數特征，另一方面，函數的奇偶性還有助于判斷函數的單調性，在求取復雜參數的參數取值或者范圍等問題中都能起到一定的作用，簡化計算過程等[2]。

3 函數奇偶性需要注意的問題

3.1 函數的定義域關于原點對稱，是判斷函數奇偶性的必要條件

因此在判斷函數奇偶性的問題中，應當首先觀察函數的定義域，在解決一些復雜函數的問題中，可以幫助我們節省不少的時間。然而，不少高中生經常在判斷函數奇偶性的問題中，過分注重于函數表達式，急于利用f（-x）與f（x）的關系來解決問題，常常會出現錯誤，例如對于y=x2（x＜0）很多同學一定會不假思索的說這個函數是偶函數，但實際上，僅僅從定義域上就可以很容易判斷出這是一個非奇非偶函數。

3.2 眾所周知，偶函數的圖像是關于y軸對稱的，奇函數的圖像關于原點對稱的

如果是把這兩句話倒過來，得出：關于原點對稱的函數圖像一定對應一個奇函數，關于y軸對稱的函數圖像一點對應一個偶函數。則這種說法是錯誤的，例如，我們以原點為中心的橢圓它的圖像既關于原點對稱，又關于y軸對稱，但是就不是一個函數，更不要談他的奇偶性了。

3.3 利用函數奇偶性與單調性的關系，對于解決函數問題有很大的幫助

奇函數在關于原點對稱的整個區間上，單調性是一致的，而偶函數則是相反的。例題：若給出一個函數f（x）的定義域在R上是偶函數，在區間（-∞,0]上是減函數，且f（2）=0，求使得f（x）＜0的x的取值范圍。分析：因為函數f（x）是偶函數，且f（2）=0，所以f（-2）=f（2）=0，又因為函數f（x）在區間（-∞,0]上是減函數，所以函數在[-2,0]內的函數值是小于0的。利用偶函數與函數單調性的性質，函數區間[0,+∞]上是增函數，因此函數在[0,2]內的函數值是大于0的，最后得出使得f（x）＜0的x的取值范圍為-2＜x＜2。

3.4 既是奇函數也是偶函數的函數是存在的且有無數個

如果存在一個函數既是奇函數又是偶函數的，則它的函數關系式是要滿足f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的，然后我們可以得出f（x）=-f（x），解得f（x）=0。因此只要函數定義域關于原點對稱，則f（x）=0既是奇函數又是偶函數，例如x∈R、x∈[-5,5]等等。

3.5 復合函數的奇偶性

我們假設y=f是g=Q（x）和y=f（g）復合函數，假定其定義域是關于坐標原點對稱的區間。則得出：（1）若g=Q（x）是偶函數的，又y=（g）是偶函數的，結果y=f（g）是偶函數；（2）若g=Q（x）是奇函數的，又y=f（g）是奇函數的，結果y=f是奇函數；（3）倘使g=Q（x）是奇函數的，又y=f（g）是偶函數的,則y=f（g）是偶函數，總結起來可以得到復合函數中存在偶函數，則函數為偶函數，否則為奇函數。利用這個性質對幫助學生快速解決有關復合函數奇偶性的問題，可以起到事半功倍的效果[3]。

4 結語

從高中數學的函數知識構架來談，我們都知道，函數的奇偶性，是函數定義的延展，也是后面研究指數函數、對數函數、三角函數等很多內容的基礎。對于研究函數的奇偶性的過程體現了數學的“從特殊到一般”、“數形結合”的思想方法，這對培養學生的思維能力和教學素養都具有非常重要的意義。通過對高中數學的學習，能夠進一步明確函數的奇偶性在數學學習中的重要性。奇偶性的研究和掌握為今后的數學學習奠定了堅實基礎。