銅箔一體機張力的模型預測控制

王 同，夏 春

（安徽銅冠銅箔有限公司，安徽池州 247100）

0 引言

隨著5G時代的來臨，市場對高端電子銅箔的需求日益增加，提高6μm及以下等超薄電子銅箔的產量和質量是銅箔企業在當今時代面臨的機遇和挑戰。張力是影響電子銅箔產量和質量的關鍵因素之一[1]。張力過大導致電子銅箔緊繃，難以抵御非水平輥產生的徑向剪切力，容易發生撕邊現象；張力過小導致箔面松弛，容易受到機械抖動影響而發生起褶現象。張力控制分為恒張力控制和變張力控制[2]，收放卷張力控制受到卷徑變化影響都是變張力控制。因此，需要合適的張力控制方法同時具備穩態波動小和動態響應好的特點。

現有的生箔一體機設備有很大一部分來自于國外進口，難以進行結構和功能上的改造，如何在維持現有結構的基礎上選擇合適的控制方法達到預期的張力控制效果是一個值得研究的問題。由于生箔機張力模型描述的是具有復雜非線性強耦合時變特點的系統[2]，因此相應的控制方法必須具備較強的魯棒性和擾動抑制能力。常見的張力控制方法包括PID、神經網絡[3]、模糊控制[2-4]和模型預測控制[1]等。其中神經網絡和模糊控制實現復雜，難以移植到現有的結構上。傳統的PID方法結構簡單、實現容易，但是由于銅箔彈性模量大、外環控制周期長、控制器性能受限，導致動態響應速度慢且超調大。而模型預測控制不受外環控制周期限制，且具有響應速度快、超調小的特點，因此選擇設計基于模型預測控制的控制器。

1 銅箔一體機張力模型建立

張力是由于彈性物體發生彈性形變而產生的。由于銅箔的彈性模量較大，根據凱爾文-沃伊特模型，可以忽略微分項。簡化后的銅箔張力表達式為：

T=εEA（1）式中：ε為單位長度物體拉伸部分的形變量；A為物體的橫截面積；E為材料的彈性模量；T為銅箔張力。

銅箔一體機系統結構如圖1所示。該系統呈現出多輸入多輸出的特性。電機1由變頻器單獨控制，用于設置機列線速度參考。通過控制電機2和電機3的轉速可以分別控制剝離和收卷張力。對應于剝離、加工處理和收卷的不同功能需求，將系統張力分為Ⅰ段、Ⅲ段和Ⅱ段。因此，整個系統的張力模型分為3段，首先對剝離段（Ⅰ段）張力建模，如圖2所示[2-3,5-9]。

圖1 生箔機系統結構示意圖

根據物體拉伸前后質量守恒，可以得到關于拉伸前后橫截面積A和拉伸長度dx的表達式：

式中： ρ為物體的密度；n為處于未拉伸狀態。由于：

圖2 剝離段張力模型

所以，根據式（2）～（3）可以得到拉伸后橫截面積和拉伸前橫截面積及形變量的關系：

根據質量守恒定律，Ⅰ段的質量變化量等于單位時間內進入該段的質量減去離開該段的質量，即：

式中：i為進入；o為離開；L為Ⅰ段的長度；v為銅箔的線速度；A為Ⅰ段的橫截面積；Ai為進入Ⅰ段前的橫截面積；Ao為離開Ⅰ段后的橫截面積。根據拉伸前后銅箔密度不變，得到ρ=ρi=ρo，將式(4)代入式(5)并作相應變換得到：

為了和Ⅱ段、Ⅲ段加以區分，令V為進入Ⅰ段的銅箔線速度，也即鈦輥的線速度；V1為離開Ⅰ段的銅箔線速度，由電機2控制。銅箔從鈦輥上析出后進入Ⅰ段，由于銅箔均勻析出，可以認為進入Ⅰ段前銅箔拉伸形變量ε0=0。因為

式中：T為Ⅰ段的張力。至此，得到Ⅰ段的張力模型。同理可以得到Ⅱ段，即收卷段的張力模型為：

式中：V1為進入Ⅱ段的線速度；V2為離開Ⅱ段的線速度，也即收卷輥的線速度。

III段的張力模型為：

式中表明穩態時，III段的張力和Ⅰ段的張力相等，原因在于兩個壓輥由同一個電機控制，線速度相等。

收卷段張力模型如圖3所示。

系統的連續狀態空間方程為：

其中，狀態變量為：

圖3 收卷段張力模型

2 模型預測控制

模型預測控制把控制問題轉化為數學優化問題，根據評價函數選擇激勵動作。模型預測控制的思路是采樣當前時刻的系統狀態，根據系統模型，預測未來一段時間內的輸入增量引起的系統狀態變化，將預測得到的未來系統狀態代入到評價函數中，選擇評價最高的輸入增量作為當前時刻的激勵。預測的時間步數為NP，施加控制的時間步數為Nc，超出預測步數的控制沒有意義，因此，Np≥Nc。根據預測時間步數是否為1，可以分為單步預測和多步預測。單步預測僅考慮下一個時刻的系統狀態，多步預測考慮未來多個時刻系統狀態的綜合評價，因此，多步預測在動態響應和穩定性上通常優于單步預測。這里采用多步預測的方法，并且使用滾動時域控制，每次僅采用增量控制序列的第一個，可以提高控制器的魯棒性和抗擾動能力。

為了得到增量控制序列，將離散后的狀態空間模型表示為增強模型[9]。其中，Δu(k)=u(k)-u(k-1)為輸入的

式中：y( ki+N| ki)T為基于當前ki時刻、N(N∈{1 , …,Np})時刻后期望輸出的列向量。增量控制序列為：

評價函數選擇為預測時間步數內期望輸出和實際輸出的誤差平方和，如下式所示：

由于評價函數是一個凸函數，因此可以用解析的方法得到全局最小值，使得評價函數最小的解如下式所示：

根據滾動時域控制，對于整個輸入增量序列，僅僅取第一個作為下一時刻的控制輸入增量。

3 仿真驗證

為了觀察對比PID控制和模型預測控制的效果，在Matlab中，分別搭建了用PID和用模型預測控制的仿真實驗平臺。控制框圖如圖4所示。

圖4 控制框圖

根據實際生產的情況，假設鈦輥的線速度為機列參考線速度，且鈦輥的線速度V由變頻器單獨控制成S曲線。仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數設置

仿真從t=0時刻，鈦輥速度從V=0開始按照S曲線上升，給定放卷張力為Tref=400 N，收卷張力為T2ref=600 N。系統的動態響應對比如圖5所示，可以看到模型預測控制比PID控制有更快的動態響應速度，并且超調更小。

圖5 PID和模型預測控制控制效果對比

4 結束語

本文介紹了銅箔一體機的張力模型，該模型能較為精確地描述系統行為，并且具有較好的控制效果。張力外環的時間常數較大，且銅箔的彈性模量較大，傳統PID控制動態響應較慢且超調較大。采用模型預測控制，在低頻的情況下能保證計算時間，同時比傳統PID控制有更好的動態響應。在生箔機等對張力控制性能要求較高的領域可以使用模型預測控制。