完備非緊梯度擴張Ricci孤立子的剛性

陳佳蕊,劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

1 引言與主要結果

若Riemann流形(Mn,g)上存在光滑函數f,使得

Ric+Hess(f)=λg,

(1)

則稱Riemann流形(Mn,g)為梯度Ricci孤立子,記為(Mn,g,f),其中f稱為勢函數,Hess(f)表示f的Hessian,Ric表示Mn的Ricci曲率張量,λ∈.當λ>0(λ=0或λ<0)時,稱(Mn,g,f)為梯度收縮(穩定或擴張)Ricci孤立子.若梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是積流形Nn-k×k的有限商,則稱該梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是剛性的,其中Nn-k是(n-k)維Einstein流形,k是Gaussian孤立子[1].

梯度Ricci孤立子是Ricci流的自相似解,其剛性性質對于了解Ricci流解的幾何結構具有重要意義.近年來,關于完備收縮Ricci孤立子剛性問題的研究已取得了重要進展,例如：文獻[2]證明了任意完備的3維梯度收縮Ricci孤立子(M3,g,f)或者是3的有限商,或者是S3的有限商,或者是S2×的有限商;文獻[3]在Weyl張量W=0(即Mn局部共形平坦)的條件下,將文獻[2]的結果完全推廣到了任意維數情形;文獻[4]引入了調和Weyl張量的概念,即

并在該條件下證明了完備梯度收縮Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是Nn-k×k(k>0)的有限商,其中Nn-k是(n-k)維Einstein流形;文獻[5]在更弱的條件,即假設Weyl張量的四階散度

的條件下得到了相同的結果；文獻[6]通過對Bach張量

進行適當限定,得到了一個更細致的剛性結果,證明了當Bij=0(即MnBach平坦)時,完備梯度收縮Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是n的有限商,或者是Nn-1×的有限商,其中Nn-1是(n-1)維Einstein流形.

對于完備非緊的梯度穩定Ricci孤立子;文獻[7]在Weyl張量W=0的條件下,證明了其或者是n的有限商,或者是一個Bryant孤立子;文獻[8]在Ricci曲率為正且Bach平坦的條件下,證明了完備梯度穩定Ricci孤立子是一個Bryant孤立子,并證明了完備梯度擴張Ricci孤立子是旋轉對稱的.

本文基于上述工作,在Weyl張量四階散度非負的條件下研究梯度擴張Ricci孤立子的剛性問題,得到如下結果：

定理1設(Mn,g,f)(n≥4)是完備非緊梯度擴張Ri……