具非局部源半線性拋物方程變號解爆破時間的下界估計

孫愛慧,陳 鵬,李 巖,包開花

(1.吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136000；2.內蒙古民族大學 數學學院,內蒙古 通遼 028000)

考慮如下具非局部源的半線性拋物方程:

(1)

其中:Ω是n(n≥3)中具光滑邊界的區域;表示邊界?Ω的外法向導數;p>1.初值且

(2)

自然界中的很多物理、化學和生物種群動力學現象,都可以用發展方程刻畫.近年來,關于發展方程解爆破時間的下界估計已引起人們廣泛關注[1-3].文獻[4]研究了問題(1)解的存在唯一性；文獻[5]討論了問題(1)解的爆破條件；文獻[6]研究了具齊次Dirichlct邊界條件的半線性熱方程解爆破時間的下界估計；文獻[7-8]利用一階微分不等式研究了具變指數源半線性拋物方程解的爆破時間下界.上述結果考慮的爆破解都是正解.受上述研究結果啟發,本文考慮方程(1)變號解爆破時間的下界估計.

假設方程(1)的解在有限時刻T*爆破,下面利用一階微分不等式并結合Sobolev嵌入不等式給出爆破時間T*的下界估計.

定理1設u(x,t)是方程(1)的解,φ(t)在T*時刻爆破,其中

(3)

常數k>max{(2n-4)(p-1),1},則φ(t)滿足下列一階微分不等式：

證明: 對式(3)兩端分別關于t求導,并利用方程(1)和分部積分公式,有

即

對式(5)應用H?lder不等式,有

(8)

結合式(3),(7),(8),有

(9)

對式(9)應用ε-Young不等式,有

(10)

結合式(6),(10),有

(12)

對式(12)兩端同時關于時間t積分,有