同倫內點方法求解一類無界區域上的多目標規劃問題

蘇孟龍,呂顯瑞

(1.洛陽師范學院 數學學院,河南 洛陽 471934;2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引 言

自文獻[1]提出用組合同倫內點法求解一類凸規劃問題后,組合同倫內點法作為一種新的、高效的內路徑跟蹤算法,在求解各種非線性問題中被廣泛應用[2-8]，目前已取得了豐富的成果：Song等[9]提出了一種新的組合同倫內點法求解一類多目標規劃問題,利用目標函數的梯度,給出了一組無界性條件,從而在無界約束集上得到了算法的全局收斂性結果;Shang等[10]發現文獻[9]考慮的乘子向量λ∈p實質上是常值向量,通過進一步考慮當λ為可變向量的情形,在新的無界性條件下給出了求解問題(1)的動約束同倫方法.但文獻[9-10]給出的無界性條件在很多情形下并不容易驗證,為了克服該困難,本文利用目標函數的Hessian矩陣給出一組新的無界性條件,舉例說明該條件更容易驗證,并在此基礎上給出連接給定初始點和多目標規劃KKT(Karush-Kuhn-Tucker)點的內路徑存在性的構造性證明,從而得到了同倫內點法的全局收斂性結果.

考慮如下多目標規劃問題:

其中f:n→p,g:n→m,h:n→l是三次連續可微的.令Ω={x∈n:g(x)0,h(x)=0}為問題(1)的可行集,Ω0={x∈n:g(x)<0,h(x)=0}為問題(1)的嚴格可行集,B(x)={j∈{1,2,…,m}:gj(x)=0}為x∈Ω處的積極指標集.給定x∈n,記‖x‖為x處的2-范數.m的非負象限和正象限分別記為和

若x,y∈n,則有

1 主要結果

針對多目標規劃問題(1),文獻[10]把乘子向量λ視為變量,考慮如下形式的規劃問題:

其中λ-p=(λ1,…,λp-1)T,f-p(x)=(f1(x),…,fp-1(x))T.

若x為多目標規劃問題的Pareto最優解,本文考慮規劃問題(2)對應的KKT系統:

為了求解系統(3),需要構造如下組合同倫方程:

H(P,P(0),μ)=

(4)

其中:

P=(x,u,v,w,λ-p)∈n+m+l+p×Λ+;

為了求解無界區域上的多目標規劃問題,文獻[9-10]分別提出了如下兩個無界性條件：

在很多……