擬行(列)對稱矩陣的Schur分解及正交對角分解

袁 暉 坪

(重慶工商大學 數學與統計學院,重慶 400067；經濟社會應用統計重慶市重點實驗室,重慶 400067)

矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解是矩陣的基本分解方法之一,在因子分析、數理統計、系統論、控制論、信息論、商務智能、最優化及各種工程問題中應用廣泛[1-9].廣義逆矩陣在測量學、經濟學、數值分析、優化理論、系統論和控制論等領域應用廣泛[10].當數據矩陣維數較大時,用計算機對其進行直接分解,計算量極大,效率較低.但若能找到矩陣中某一部分與其他部分之間的某種定量關系,會極大提高計算效率,因此尋找矩陣的特殊結構關系有一定的理論意義[11-16].尤其當矩陣具有某種行或列對稱性時,矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解很容易求得,從而可以節省大量存儲量空間和計算量.文獻[11-14]研究了行(列)對稱矩陣的QR分解與奇異值分解,文獻[15-16]研究了擬行(列)對稱矩陣的極分解,獲得了一些有意義的結果.本文進一步探討擬行(列)對稱矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解,給出擬行(列)對稱矩陣的Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解及其Moore-Penrose逆的公式,推廣了文獻[7-8]的結果,擴充了文獻[15-16]的結果.拓寬了應用范圍.本文用AH表示矩陣A的共軛轉置矩陣,m×n與m×n分別表示m×n實矩陣集與復矩陣集,A+表示A的Moore-Penrose逆.

定義1[15]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,則稱

為A的k次擬行對稱矩陣,A稱為其母矩陣.特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定義2[15]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則稱

C(A;Q1,…,Qk-1)=(A1,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)

為A的k次擬列對稱矩陣,A稱為其母矩陣.特別地……