復Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann模型分析解

張建影,閆廣武,李 婷,3

(1.長春工業大學 數學與統計學院,長春 130012;2.吉林大學 數學學院,長春 130012;3.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022)

復Ginzburg-Landau方程在許多物理領域中應用廣泛[1-2].文獻[3-4]研究表明,用格子Boltzmann方法(LBM)求解復Ginzburg-Landau方程具有簡單有效、數值精度高等優點.該方法的思想是通過構造格子Boltzmann方程中的平衡態分布函數得到所模擬的宏觀方程,通過尋找平衡態分布函數的矩函數給出平衡態分布函數與宏觀量之間的變換,再進一步通過格子Boltzmann方程給出下一時刻的分布函數[5].在某種條件下,上述分布函數存在分析解[6-7].本文利用Chapman分析方法,給出系列偏微分方程以及Chapman多項式的一般形式,通過求解復Ginzburg-Landau方程的平衡態分布函數,給出不同時間尺度上的分布函數表達式,從而不需要格子Boltzmann方程迭代可以直接給出分布函數,進而得到復Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann分析解.

1 系列偏微分方程及Chapman多項式

考慮二維的FHP(Frisch-Hasslacher-Pomeau)網格,在位置x、時刻t定義具有粒子速度eα的復分布函數Fα(x,t),其實部和虛部可視為兩種單粒子分布.復變量A(x,t)定義為

(1)

為得到穩定的宏觀量A(x,t),假設分布函數Fα(x,t)具有平衡態,即

(2)

定義Knudsen數ε=l/L,其中:l為粒子平均自由程;L為特征長度.選擇時間步長Δt與Knudsen數相等[3],則復格子Boltzmann方程為

(3)

其中: 實常數τ為單松弛時間因子；變量ωα(x,t)為非碰撞項,表示分布函數的增量, 假設其具有多尺度形式：

(4)

在小Knudsen數的假設下,對Fα(x,t)做Chapman-Enskog展開,得

(5)

(6)

引入時間多尺度t0,t1,…,滿足

tn=εnt,n=0,1,…,

(7)

將式(5),(7)代入式(3),并做Taylor展開,可得前6個不同時間尺度上的系列偏微分方程[3]：

在方程(8)～(13)中,

(14)

ωα(x,t)=ε2θα(x,t),

(15)

則由式(8),(9)可……