一類三波作用模型的不變代數曲面、Hamilton結構及無窮遠動力學行為

牛艷秋,楊雙羚,,許明星

(1.吉林建筑科技學院 基礎部,長春 130114；2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下三波作用模型:

其中:γ,δ是參數,δ表示同步失諧,其他線性項刻畫耗散和外部能量泵送的影響;x,y,z正比于3個波的振幅.該模型描述了3個準同步波在等離子體中的相互作用[1-2].

目前關于模型(1)的研究已有很多結果: Bountis等[3]利用Painlevé分析研究了該模型的奇性結構；Almeida等[4]給出了該模型存在非平凡李對稱的充分條件;Lu等[5]利用特征線法刻畫了該模型所有的運動積分；文獻[6]研究了該模型有理首次積分的存在性.本文首先用代數幾何中的消除理論刻畫該模型的具常數余因子的不變代數曲面；其次,證明具不變代數曲面的三波作用模型存在無窮多個Hamilton-Poisson結構,因此是雙Hamilton的;最后,利用Poincaré緊致化技巧研究該模型在無窮遠的動力學行為.

1 不變代數曲面和Hamilton結構

令f(x,y,z)∈[x,y,z]是關于x,y,z的多項式.如果存在多項式k(x,y,z)∈[x,y,z],使得

(2)

則稱代數曲面f=0是模型(1)的不變代數曲面,其中k稱為f對應的余因子.如果f是不變代數曲面,也稱其為Darbux多項式.由定義易見,如果模型(1)的某軌線上一點屬于該不變曲面,則整個軌線上的點都屬于該不變曲面.不變代數曲面可用于構造系統的首次積分[7-8],不變代數曲面的存在性對于理解系統的復雜動力學行為很重要[9].

為簡單,本文考慮模型(1)具常數余因子的不變代數曲面，即k∈. 進一步,假設不變代數曲面具有如下形式:

f=a000+a100x+a010y+a001z+a110xy+a101xz+a011yz+a200x2+a020y2+a002z2,

(3)

把式(3)代入式(2),并對比x,y,z的同次冪系數,可得多項式方程組

gj(γ,δ,k0,as1,s2,s3)=0,j=1,2,…,16,

(4)

其中:

令I∶=〈g1,g2,…,g16〉表……