帶有記憶的Boussinesq方程指數吸引子的存在性

王美霞,馬巧珍

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引 言

考慮如下帶有記憶的Boussinesq方程:

(1)

指數吸引子的存在性,其中:u=u(x,t)是未知函數,表示流體自由表面的運動;常系數α依賴于流體深度;Ω是N(N≥3)中具有光滑邊界?Ω的有界域;ν是?Ω的單位外法向量;μ是記憶核;外力項不依賴于時間t.

Boussinesq[1]建立了描述淺水波水面長波傳播的方程:

utt-uxx+αuxxxx=β(u2)xx,

(2)

其中:u表示流體自由表面的運動;常系數α,β依賴于流體的深度和水波的特征速度.當α>0時,方程(2)被稱為“好”的Boussinesq方程.文獻[2]研究了“好”的Boussinesq方程初值問題局部解的適定性;文獻[3]研究了方程(2)整體解的不存在性.當α<0時,方程(2)被稱為“壞”的Boussinesq方程.文獻[4]將反散射理論應用于“壞”的Boussinesq方程,首次證明了在初始函數呈負指數階一致衰減的條件下,Boussinesq方程

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx

(3)

的初值問題是可解的.文獻[5]用不同方法討論了更一般的“壞”的Boussinesq方程初邊值問題解的爆破;文獻[6-7]研究了阻尼Boussinesq方程

utt-2butxx=-αuxxxx+uxx+β(u2)xx,

(4)

得到了方程(4)在不同初邊值條件下的整體漸近解;文獻[8]研究了更一般的具阻尼Boussinesq方程

utt-auttxx-2butxx=-cuxxxx+uxx+p2+β(u2)xx

(5)

Canchy問題解的整體適定性,并給出了一個長時間漸近解.上述結果都是對Boussinesq方程初邊值問題整體解的存在性和爆破性的討論,而關于該方程整體吸引子和指數吸引子及更高正則性的研究報道較少.整體吸引子廣泛應用于具有耗散結構的發展方程中[9-12],但它有本質缺陷: 吸引相空間中任意有界集的速率可以是任意慢的,而且它的分形維數可能無限.指數吸引子克服了這些缺陷,因為它不僅有有限的分形維數,而且吸引速率是指數型的、可測的.文獻[13]研究了具強阻尼的Boussinesq方程

utt+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(6)

解的長時間行為,在g(u)滿足非超臨界條件下得到了對應解算子半群整體吸……