帶有白噪聲的Berger方程隨機吸引子

汪 璇,宋 安

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引 言

考慮U?2中具有光滑邊界?U有界開區域的隨機Berger方程[1-2]：

(1)

假設方程(1)的非線性項f∈C2(),且滿足如下條件:

增長性條件

(2)

耗散性條件

(3)

sf(s)≥C3(F(s)-1), ?s∈+.

(4)

假設函數M:+→+是C1上的增函數,且存在正常數C4,使得

M(s)≤C4(1+sγ/2), 0<γ<1/2, ?s∈+,

(5)

并且

(6)

本文考慮Berger方程中解的隨機漸近性行為,用文獻[13-15]建立的方法,通過引入同構映射構造等價過程,用漸近先驗估計技術和算子分解方法驗證解過程的緊性,進而證明Berger方程隨機吸引子的存在性.為方便,本文中的C和Ci均表示正常數.

1 預備知識

設(X,‖·‖X)為可分的Banach空間,具有Borelσ-代數B(X).

定義1[13-15]設(Ω,F,)為概率空間,θt:Ω→Ω,t∈為一族保測變換,(t,ω)θtω為(B(+)×F,F )可測,且滿足:

1)θ0=id;

2)θt+s=θtθs,?t,s∈.

則稱(Ω,F,,(θt)t∈)為可測動力系統.

定義2[13-15]設(Ω,F,,(θt)t∈)為可測動力系統,若映射φ:+×Ω×X→X為(B(+)×F×B(X),B(X))可測,且滿足:

1)φ(0,ω)x=x,?x∈X,ω∈Ω;

2)φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)°φ(s,ω),?t,s∈+,x∈X,ω∈Ω.

則稱(θ,φ)為X上的隨機動力系統(RDS).進一步,若φ(t,ω):X→X是連續的,則稱(θ,φ)為X上的連續隨機動力系統.

定義4[13-15]設K(ω)為隨機集,B為X中的任意有界子集,若存在tB(ω),使得對所有的t≥tB(ω),均有

φ(t,θ-tω)B?K(ω), -a.e.ω∈Ω,

則稱K(ω)為X中的隨機吸收集.

定義5[13-15]設K(ω)為隨機集,B為X中的任意有界子集,若

其中,d(·,·)表示Hausdorff半距離,即

則稱K(ω)吸引X中的有界集,即K(ω)稱為X中的隨機吸引集.

設φ(t,θ-tω)x表示系統在-t初始時刻、位于點x時在0時刻的軌跡,并且系統的吸引性從t=-∞開始.

定義6[13-15]若隨機集A={A(ω)}ω∈Ω?X滿足:

1) A是隨機緊集;

2) A是不變的,即對?t≥0,-a.e.ω∈Ω,φ(t,ω)A(ω)=A(θtω);

3) A吸引X中的所有確定的有界集B.

則稱A為隨機動力系統φ的隨機吸引子.

定義7[13-14]設φ為可測動力系統(Ω,F,,(θt)t∈)及空間X上的連續隨機動力系統,若存在隨機緊集K(ω),使得對于任意非隨機有界集B?X,均有則φ存在一個隨機吸引子其中,B取遍X中的有界子集,ΛB(ω)是B的ω-極限集……