高階強偽單調映射變分不等式解的性質

韓文艷,余國林

(北方民族大學 應用數學研究所,銀川 750021)

0 引 言

令X為一實Hilbert空間,用〈·,·〉表示X中的內積,〈·,·〉誘導出的范數記為‖·‖.假設C?X為一非空閉凸子集,Φ:C→X為一映射,考慮如下變分不等式問題:

變分不等式問題VI(C,Φ)在力學、控制論、經濟數學、對策論、微分方程和最優化理論中應用廣泛,解的存在性是研究變分不等式問題VI(C,Φ)的熱點之一.在討論變分不等式解的性質時,通常需要映射Φ滿足一定的連續性和單調性假設[1-6].Kien等[2]在映射Φ滿足弱連續和偽單調的條件下,得到了問題VI(C,Φ)解存在的等價條件,但僅給出了解的存在性,未討論解的唯一性問題.本文通過對映射Φ引進一類高階單調性的概念,在這類高階單調性假設下,考慮問題VI(C,Φ)解的唯一性.

在構造數學模型解決實際問題的過程中,由于用觀察、實驗和測量等方法所獲得的數據不可能完全準確,因此所得的數學模型和實際問題的真實模型一般存在一定的差異,后者通常稱為精確模型,前者稱為近似模型.近似模型可視為由精確模型中的數據做微小變動而得到.當將一個具有精確模型變分不等式的數據做微小變動后,所得到的近似模型變分不等式不僅要有解,而且解也只有微小變化,因為只有這樣才能用近似模型代替精確模型,此即為變分不等式解的穩定性理論[7-8].本文在映射的高階單調性假設下,研究變分不等式問題VI(C,Φ)解的穩定性.

1 高階強偽單調性及解的存在定理

定義1令D為Hilbert空間X中一非空子集.

1) 如果存在常數α>0,使得