高維Euler方程組的強松馳極限

徐志琳,林春進

(河海大學 理學院,南京 210098)

0 引 言

考慮如下高維帶松弛項的Euler方程組：

(1)

其初始條件為

ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x).

(2)

這里:x∈n為空間變量;t>0為時間變量;ε>0為松弛常數;ρ(x,t)∈和u∈n分別表示流體在t時刻、x處的密度和速度;P=P(ρ)表示流體的壓強,對于任意的ρ>0,滿足P′(ρ)>0.

對于Euler方程組整體解的研究目前已有很多成果[1-12]：文獻[1]研究了一維Euler方程組在Lagrange坐標下解的大時間行為,并證明了當時間t→∞時,方程組(1)的解收斂于非線性擴散方程的解;文獻[5]用流函數的方法證明了等溫Euler方程組的解在有界變差的初值條件下收斂于熱傳導方程的解;文獻[6]利用熵變量研究了在初值充分小時,等溫Euler方程組的光滑解當ε→0時收斂于熱傳導方程的解;文獻[7]利用熵變量,將文獻[6]的結論推廣到包含等熵Euler方程組在內的一般Euler方程組上；文獻[8]將這類方法推廣到一般的松弛極限.但該方法對方程對稱子關于變量的依賴關系有較高要求.文獻[9]通過引入新的變量,利用Euler方程的等價形式得到了有效的能量估計,從而證明了解的整體存在性；文獻[10]在能量估計中利用密度關于時間t的偏導數估計,得到了解的整體存在性；文獻[11-12]利用該方法得到了類似的結果.但文獻[9-12]中只考慮了帶阻尼項的Euler方程解的整體存在性(即ε=1情形),由于缺少關于時間的一致先驗估計,因此不能直接用來處理松弛極限.文獻[13]討論了相互作用力下帶阻尼的Euler方程的極限模型；文獻[14-15]討論了帶阻尼的Euler方程強松弛極限在其他物理模型上的推廣.本文借助文獻[6-8]的方法和文獻……