軟正合序列的若干性質

吳 越,馬 晶

(吉林大學 數學學院,長春 130012)

目前，關于軟集的研究已有很多結果[1-5],關于軟模的研究也取得了豐富的成果[6-18].例如：Sun等[6]定義了軟模并且討論了軟模的基本性質;Atagün等[7]給出了環和模的軟結構;Xiang[8]討論了軟模的性質;Ozturk等[9]討論了軟模的正向系統和反向系統;Türkmen等[10]引入了軟子模的和與直和、小軟子模、軟模的根,并討論了軟模的根與軟模的小軟子模及極大軟子模之間的聯系；Shah等[11]給出了軟環和軟模的準素分解；Celep等[12]定義了軟模的本質軟子模和軟子模的補,并討論了其基本性質；文獻[13]定義了軟子模的socle,給出了與文獻[12]不同的本質軟子模的又一個定義,討論了本質軟子模和軟模socle的基本性質,并分別給出了本質軟子模、軟模的 socle和根的若干等價定義.本文利用模論知識[19-20]和軟模的基本性質,討論軟同態的分解性質以及軟正合序列的若干性質,證明軟同態都可以分解為一個滿的軟同態和一個單的軟同態的復合,并利用兩個軟正合序列構造一個新的軟正合序列.

1 預備知識

定義1[1]設U是一個集合,E是一個參數集,P(U)為U的冪集,并且A?E.一個有序對(F,A)稱為U上的軟集,其中F:A→P(U)是一個取值為集合的映射.

其中H(x)=F(x)∩G(x),x∈A∩B.

本文若無特別說明,總設R是一個有單位元的結合環,所有模都是R-模.設M和N都是R-模,如果N是M的子模,則記為N≤M.

定義4[6]設M是一個R-模,(F,A)是M上的軟集.如果對任意的a∈A總有F(a)≤M,則稱(F,A)是M上的一個軟模.

定義6[7]如果對任意的a∈A總有F(a)={0},則M上的軟模(F,A)稱為平凡的,記為(F,A) =0.

定義7[10]設(F,A)是M上的軟模,{(Fi,Ai)}i∈I是(F,A)的一族軟子……