Post李超代數結構的性質

王 旭,魏 竹,張慶成

(東北師范大學 數學與統計學院,長春 130024)

Post李代數[1]與Yang-Baxter方程的解[2]、Rota Baxter代數[2]、LR代數[3]以及左對稱代數[4]等密切相關.目前,關于post李代數的研究已取得了許多成果[1,5-8]: 文獻[1]證明了post李代數作為交換環上三角代數的Ksozul對偶有重要的代數性質;文獻[5]給出了post李代數的結構和半單李代數的廣義導子；文獻[6]驗證了post李代數與李群上冪零仿射作用之間的聯系.但目前關于post李超代數的研究結果較少[9],本文研究post李超代數結構的性質,給出post李超代數與其他超代數之間的聯系.

定義1[9]若上的超向量空間V有兩個雙線性映射·和{,},使得(V,{,})是李超代數,且滿足下列條件：

則稱(V，·,{，})為post李超代數.

引理1[9]設(V,·,{,})是一個李超代數,定義[x，y]=x·y-(-1)|x||y|y·x+{x,y},則(V,[,]) 是李超代數.

定義2[9]設(G,N )是一對具有底空間V的李超代數,其中N=(V,{,}),G=(V,[,]).若V上有一個雙線性映射·,使得對?x,y,z∈V,滿足下列關系式:

則稱·為(G,N )上的post李超代數結構.

顯然N=(V,·,{,})是post李超代數,G=(V,[,])是李超代數.

命題1令(V,·,{,})是post李超代數,定義

[x，y]=x·y-(-1)|x||y|y·x+{x,y},

則有

[x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).

證明:

命題2按上述定義,令·是(G,N )上post李超代數結構,則對?x,y,z∈V,下列等式成立:

{x,y}·z=(-1)|x||y|(y·x)·z-(-1)|x||y|y·(x·z)-(x·y)·z+x·(y·z);

(6)

z·[x,y]=z·(x·y)-(-1)|x||y|z·(y·x)+z·{x,y};

(7)

證明：由定義1可直接得式(6).由定義2有x·y-(-1)|x||y|y·x=[x,y]-{x,y},在等式兩端同時用z作用,則有

z·[x·y]=z·(x·y)-(-1)|x||y|z·(y·x)+z·{x,y}.

即式(7)得證.由

整理后即得式(8).

由Jacobi等式有

即式(9)得證.又由Jacobi等式有

再由式(9),有

即式(10)得證.

命題3設·是(G,N )上的post李超代數結構,且由x·y=0給出,則有(V,{,})=(V,[,]).

證明: 因為x·y=0,所以有[x,y]={x,y},即(V,{,})=(V,[,]).

命題4若n是可交換的,則由(G,N )上post李超代數結構可得到G上的一個左對稱超代數結構.

證明: 因為n是可交換的,所以有{x,y}=0.由式(1)可得

(-1)|x||y|(y·x)·z-(-1)|x||y|y·(x·z)=(x·y)·z-x·(y·z),

由式(3)和式(4)分別得

x·y-(-1)|x||y|y·x=[x,y], [x,y]·z=x·(y·z)-(-1)|x||y|y·(x·z).

命題5若G是可交換的,則由(G,N )上的post李超代數結構可得……