導(dǎo)數(shù)與不等式聯(lián)姻的解決策略

孫建山

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，自2004年新課改以來(lái)，以導(dǎo)數(shù)為工具討論函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)最值、恒成立問(wèn)題的解決等成為高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，這類問(wèn)題學(xué)生普遍感覺(jué)難度大，就不等式恒成立問(wèn)題的解決策略和讀者做一個(gè)交流。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式；恒成立

例1.（2008江蘇高考數(shù)學(xué)第14題）f（x）=ax3-3x+1對(duì)于x∈

[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a= .

解法1（分離參數(shù)）：由題意可得：ax3≥3x-1在x∈[-1，1]上恒成立.

（1）當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然恒成立，此時(shí)a∈R.

（2）當(dāng)x<0≤1時(shí)，a≥ 恒成立，則，a≥（ ）max令g（x）= ，g′（x）= ，所以g（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，1）上單調(diào)遞減，則g（x）max=g（ ）=4，所以a≥4.

（3）當(dāng)-1≤x<0時(shí)，a≤ 恒成立，則a≤（ ）max令g（x）= ，g′（x）= ，所以g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，則g（x）min=4，所以a≤4.

綜上：a=4.

此解法通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成a≥h（x）或者a≤h（x），然后求h（x）的最值，當(dāng)然有些題目也可以轉(zhuǎn)化成ag（x）≥h（x）或者ag（x）≤h（x）[也就是說(shuō)不需要把與a（也可能是關(guān)于a的參數(shù)團(tuán)）相乘的關(guān)于a的代數(shù)式都除到另一邊]，當(dāng)然ag（x），h（x）最好是我們比較熟悉的一些函數(shù)，然后通過(guò)圖像等方法求出a的數(shù)值或者范圍.

解法2（求函數(shù)最值法）：由題意可得：f（1）≥0f（-1）≥0，解得：

2≤a≤4，f′（x）=3ax2-3令f′（x）=0解得x=± x∈（-1，1），則f（x）在（-1，- ）上單調(diào)遞增，在（- ， ）上單調(diào)遞減，在（ ，1）上單調(diào)遞增，所以f（ ）≥0f（-1）≥0解得：a≥4，綜上：a=4.

此解法并未上來(lái)就求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，而是通過(guò)取特值先適當(dāng)縮小參數(shù)a的范圍，然后再求導(dǎo)，這樣在許多的情況下可以適當(dāng)簡(jiǎn)化討論.

另解：f（-1）≥0f（1）≥0f（ ）≥0解得：a=4.此解法不具有一般性，僅供參考.

例2.（2015山東高考數(shù)學(xué)理第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若？坌x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解法3（研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)）：（1）略.（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），f（0）=0，要使？坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可，于是只需？坌x>0，f′（x）= +a（2x-1）≥0成立，

當(dāng)x> 時(shí)a≥- =- ，- ∈（0，+∞）則a≥0；

當(dāng)x= 時(shí)，f′（ ）= >0，則a∈R；當(dāng)01時(shí)f ′（x）= ，設(shè)g（x）=2ax2+ax+1-a此時(shí)Δ>0，設(shè)g（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<- 1- 時(shí)ax2+（1-a）x<0，此時(shí)f（x）<0，不符合題意.綜上：0≤a≤1.

此解法借助導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定參數(shù)的取值范圍，然后對(duì)參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗(yàn)證其不符合題意，即可確定所求參數(shù)的范圍.解法1和解法2同樣適用此題.

下面筆者選兩題可供讀者練習(xí)：

1.（2010新課標(biāo)第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

2.（2012天津理第20題）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若對(duì)任意的x≥0，有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.

編輯 王團(tuán)蘭