二次函數圖像的平移與對稱變換問題例析

■楊興發

函數圖像是由點構成的,函數圖像位置的變化,實質就是圖像上點的位置的變化,而坐標決定點的位置,因此,可以通過研究點的變換與其坐標之間的變化來研究函數圖像的變換與其解析式的變化之間的關系。下面我們通過點的平移、關于坐標軸或原點的對稱變換與坐標變化之間的關系來研究二次函數圖像的平移、關于坐標軸或原點的對稱變換與解析式的變化之間的關系。

點P(x,y)的平移、關于坐標軸或原點的對稱變換與坐標變化之間的關系如下:

1.點P(x,y)關于x軸的對稱的點坐標為(x,-y),關于y軸的對稱的點坐標為(-x,y),關于原點的對稱的點坐標為(-x,-y)。

2.點P(x,y)向右(左)平移m(m＞0)個單位長度得到的點的坐標是P(x±m,y);向上(下)平移n(n＞0)個單位長度得到的點的坐標是P(x,y±n);既向右(左)平移m(m＞0)個單位長度,又向上(下)平移n(n＞0)個單位長度得到的點的坐標是P(x±m,y±n)。

例1(1)拋物線y=2(x+2)2-4向右平移3個單位長度,向上平移1個單位長度得到的拋物線的解析式是_____。

(2)拋物線y=x2-4x向左平移4個單位長度,向上平移5個單位長度得到的拋物線的函數表達式是_____。

(3)拋物線y=x2-4x關于x軸對稱的拋物線的函數表達式是____,關于y軸對稱的拋物線的函數表達式是_____,關于原點對稱的拋物線的函數表達式是_____。

分析：拋物線y=ax2+bx+c中,a的絕對值決定拋物線的形狀,a的正負決定拋物線的開口方向,當a＞0時拋物線開口向上,當a＜0時拋物線開口向下。變換前后拋物線的形狀是保持不變的;關于x軸或者原點對稱的拋物線開口方向相反,a就變為-a;平移或者關于y軸對稱變換前后拋物線開口方向相同,a也就不變。因此,要想求出求變換后拋物線的解析式,就得先確定出變換前拋物線的頂點坐標,再根據上面兩條關于點的平移、對稱變換與坐標變化之間的關系確定出變換后拋物線的頂點坐標;然后就可以直接寫出變換后拋物線的頂點式解析式。

(1)中拋物線的解析式是頂點式,可直接寫出頂點坐標是(-2,-4),變換后的頂點坐標是(1,-3),所得拋物線的解析式是y=2(x-1)2-3。

(2)(3)中的拋物線是一般式,可先化成頂點式或用頂點坐標公式求出頂點坐標是(2,-4),(2)中變換后的頂點坐標是(-2,1),得到的解析式是y=(x+2)2+1。(3)中的拋物線變換后的頂點坐標分別為(2,4),(-2,-4),(-2,4),解析式分別為y=-(x-2)2+4,y=(x+2)2-4,y=-(x+2)2+4,也可以將結果化為一般式。

例2(1)拋物線y=2(x+2)2-4能經過平移得到拋物線y=2(x+3)2+1嗎?如果能,應怎樣平移?

(2)拋物線y=x2+4x與拋物線y=-x2+4x有怎樣的關系?

分析：(1)中兩個拋物線的頂點坐標分別為(-2,-4),(-3,1),前者向左平移1個單位長度,向上平移5個單位長度就可以得到后者。

(2)中兩個拋物線的頂點坐標分別為(-2,-4),(2,4),這兩個點關于原點對稱,兩個拋物線的解析式中的二次項系數只有符號不同,所以這兩個拋物線關于原點對稱。

由例1、例2可以看出,有關二次函數圖像平移、對稱變換問題看似很復雜,但只要轉化成二次函數頂點坐標的變換問題,就很容易解決。