七橋問題

馬兆兵

18世紀初，在波羅的海南海岸有一座景色迷人的小鎮(zhèn)——普魯士的哥尼斯堡（現在叫加里寧格勒），被一條河穿過。河中有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸連了起來（如圖1）。這里的橋和景色每天都吸引了無數的游客流連忘返。

城中有位聰明、愛思考的少年。一天，這位少年提出了這樣一個問題：一個人能否從某地出發(fā)，穿過所有橋不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點？

問題提出后，很多人對此感興趣，紛紛進行試驗，但在相當長的時間里，始終未能解決。因而，這個問題在那時成了一道著名的難題，也就是“哥尼斯堡七橋問題”。

1735年，有幾名大學生寫信給在彼得堡科學院任職的天才數學家歐拉，請他幫忙解決這一問題。歐拉實地觀察之后，認真思考走法，但始終沒能成功。

歐拉思考：人們多次失敗是否預示著這樣的路線根本不存在？該如何說明呢？

歐拉用數學分析法，將其中的四塊陸地抽象為四個點A、B、C、D，將陸地之間架設的七座橋梁用線來表示，分別表示為a、b、c、d、e、f、g。經過抽象之后，圖1就變成了由點和線組成的圖形（如圖2），這個圖形被稱為“歐拉圖”。于是，“七橋”問題就轉化為是否可以“一筆畫”的問題。什么叫“一筆畫”呢？那就是筆不準離開紙，一筆畫成整個圖形，且每一條線只許畫一次，不得重復。

接下來，歐拉找到了“一筆畫”的規(guī)律，并以此規(guī)律為判斷準則，很快就判斷出：要一次不重復地走遍哥尼斯堡的七座橋是不可能的。也就是說，這么多年來，人們費腦費力尋找的那條不重復的路線，根本就不存在。

歐拉的思考方法非常巧妙，也非常重要，它正表明了數學家處理實際問題的獨特之處——把一個實際問題抽象成合適的“數學模型”。這種研究方法就是“數學模型法”。