基坑伺服鋼支撐軸力監測數據處理的ARIMA模型探析

馮棟梁，許建聰，許輝鵬，于劍楓

（1.上海市市政工程建設發展有限公司，上海市200025；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海市200092；3.同濟大學 地下建筑與工程系，上海市 200092）

0 引 言

隨著我國地下工程的高速發展，地鐵沿線、高架道路及隧道等附近的大型深基坑工程越來越多，鋼支撐系統逐漸成為深基坑內支撐系統的主導施工模式，且需求量越來越大。傳統的鋼支撐軸力多是基于基坑圍護結構的強度控制而確定，而溫度變化對基坑鋼支撐軸力有較大影響[1]。因此，研發出能夠實現鋼支撐軸力補償及基坑變形監控的智能系統成為市場所需。通過合理調控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統軸力，不僅保證了經濟可行性，而且在控制圍護側向變形方面效果顯著[2～5]。基坑伺服鋼支撐軸力監測數據的處理是合理調控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統軸力的關鍵之一。本文通過建立ARIMA 模型，對基坑伺服鋼支撐軸力監測數據處理過程進行探析，以期為今后類似基坑的圍護優化設計提供參考。

1 ARIMA 模型

ARIMA 模型是一種重要的時間序列預測分析模型。ARIMA 模型是在平穩的時間序列基礎上建立起來的，因此時間序列的平穩性是建模的重要前提。平穩性要求經由樣本時間序列得到的擬合曲線在未來短時間內能夠順著現有的形態慣性地延續下去，即數據的均值、方差在理論上不應有過大的變化。平穩性可以分為嚴平穩與弱平穩兩類。嚴平穩指的是數據的分布不隨時間的改變而改變；弱平穩指的是數據的期望與相關系數（即依賴性）不發生改變。在實際應用過程中，嚴平穩過于理想化與理論化，絕大多數情況應該屬于弱平穩。對不平穩數據進行平穩化處理的最常用手段是差分法，即計算時間序列中t時刻與t-1 時刻的差值，從而得到一個新的、更平穩的時間序列。

1.1 自回歸模型AR（p）

該模型用變量自身的歷史事件數據對自身進行預測，描述的是當前值與歷史值之間的關系。自回歸模型首先需要確定一個階數p，表示用幾期的歷史值來預測當前值。其公式為：

式中：yt是當前值；μ 是常數項；p是階數；γi是自相關系數；et是誤差值。

自回歸模型AR 建模使用的數據與預測使用的數據是同一組數據。使用的數據必須具有平穩性；使用的數據必須有自相關。如果自相關系數小于0.5，則不宜采用自回歸模型。自回歸模型只適用于預測與自身前期相關的現象。

1.2 移動平均模型MA（q）模型

移動平均模型關注的是自回歸模型中誤差項的累加，它能夠有效消除預測中的隨機波動。其公式如下：

式中：θi為MA（q）公式的相關系數；q為階數。

1.3 自回歸移動平均模型ARMA（p，q）模型

將自回歸模型與移動平均模型相結合，便可得到自回歸移動平均模型。其公式為：

式中的p與q需要人為定義，γi與θi需要求解獲取。

1.4 差分自回歸整合移動平均模型ARIMA（p，d，q）模型

該模型又稱整合移動平均自回歸模型（移動也可稱作滑動）。ARIMA（p，d，q）中，AR 是“自回歸”，p為自回歸項數；MA 為“滑動平均”，q為滑動平均項數；d為使之成為平穩序列所做的差分次數（階數）。如果原始數據不滿足平穩性要求而進行了差分，則為差分自相關移動平均模型（ARIMA），將差分后所得新數據代入ARMA 公式中即可。

ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q）模型的擴展，是非平穩時間序列過程。不直接考慮其他相關隨機變量的變化。

如果一個時間序列yt｛｝的d次差分ωt=Δdyt是一個平穩的ARMA 過程，則稱yt｛｝為自回歸滑動平均求和模型。如果ωt服從ARMA（p，q）模型，則稱yt｛｝是ARIMA（p，d，q）過程。一般來說，對于一個非平穩時間序列，取一次或二次差分即可。

式中：Δ=1-B為差分算子，B為滯后算子，即Byi=yi-1，且同時，｛xi，i=0，1，2，…｝為白噪聲序列，即則稱｛yi，i=0，1，2，…｝為自回歸移動平均序列，記作ARIMA（p，d，q）。

當∣B∣≤1 時：

綜合式（5）、式（6）可得：

根據以上理論，不斷對ARIMA 模型調參擬合，可得到一組最優參數p，d，q。p與q分別為自回歸模型與移動平均模型的階數，d是差分的階數。

2 建立ARIMA 模型的過程

（1）根據時間序列的散點圖、自相關函數和偏自相關函數圖識別其平穩性。

（2）對非平穩的時間序列數據進行平穩化處理，直到處理后的自相關函數和偏自相關函數的數值非顯著、非零。

（3）根據識別出來的特征建立相應的時間序列模型。平穩化處理后，若偏自相關函數是截尾的，而自相關函數是拖尾的，則建立AR 模型；若偏自相關函數是拖尾的，而自相關函數是截尾的，則建立MA 模型；若偏自相關函數和自相關函數均是拖尾的，則序列適合ARMA 模型。

（4）參數估計，檢驗是否具有統計意義。

（5）假設檢驗，判斷（診斷）殘差序列是否為白噪聲序列。

（6）利用已通過檢驗的模型進行預測。

3 實例分析

采用上海市“淞滬路-三門路下立交工程”某基坑工程的鋼支撐軸力實測數據，建立ARIMA 模型。取某鋼支撐的伺服軸力原始數據作為分析對象。圖1 是從基坑施工開始到結束的每小時監測數據趨勢圖。從圖1 可知，伺服軸力原始數據沒有明顯的規律和模式。按照每天分別計算平均值和方差，計算結果顯示并不一致，說明伺服軸力的變化并不是一個穩定的序列。于是，對原始數據進行一階差分，圖2 是一階差分后序列走勢圖。

圖1 基坑施工開始到結束的每小時監測數據趨勢圖

圖2 鋼支撐3-1 伺服軸力數據一階差分走勢圖

由圖2 可知，基坑鋼支撐伺服軸力的原始數據在經過一階差分后呈現了平穩的趨勢并且均值基本穩定。經過差分后的數據基本接近于0，所以可以推測伺服軸力的下一個時刻的軸力與上一個監測時刻的軸力有較強的關聯。

為了驗證以上推測，采用滯后期數n分別為1，2，3，5 h 的軸力與當前軸力作圖，如圖3 所示。

圖3 當前軸力與滯后期數n 的軸力關系

由圖3 可知，當前軸力與前一時刻的監測軸力有非常強的線性關系，隨著滯后期數的增加，這個關系迅速模糊。圖4 是以滯后期數n為自變量，自相關系數作為因變量的自相關系數變化圖。

圖4 自相關系數變化圖

由圖4 可知，當滯后期數達到70 h 之后，自相關系數出現了周期性波動，出現拖尾現象，由此可知無法判斷是否可選取滯后期數70 h 以內的數據并乘上合適的權重來預測下一時刻的軸力。

繼續分析原始數據的偏自相關系數，見圖5。

圖5 原始數據的偏自相關系數圖

由圖5 可知，偏自相關系數圖沒有明顯的拖尾或是截尾現象。

綜合以上分析可知，伺服軸力的原始數據并不能簡單地運用AR（p）模型（p階回歸模型）和MA（q）模型（q階移動平均模型）擬合。基坑鋼支撐伺服軸力數據的偏自相關系數和自相關系數均是拖尾的，所以其序列適合ARMA 模型，即在經過一階差分后數據呈現了平穩的趨勢，采用建立ARIMA模型可以合理調控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統軸力。

4 結 語

（1）在經過一階差分后數據呈現了平穩的趨勢。基坑鋼支撐伺服軸力數據的偏自相關系數和自相關系數均是拖尾的，所以其序列適合ARMA模型。

（2）可以通過建立ARIMA 模型來合理調控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統軸力。研究結果可為今后類似基坑的圍護優化設計提供參考。