幾類(lèi)特殊形式的極限求法探討

白梅

[摘要]本文結(jié)合具體的實(shí)例研究了無(wú)窮項(xiàng)乘積形式、積分形式包括含參量積分及變限積分、級(jí)數(shù)形式極限的求法，使數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者對(duì)這幾種特殊形式極限的求法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).

[關(guān)鍵詞]極限;變上限積分;級(jí)數(shù)

[中圖分類(lèi)號(hào)] 0171 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]2095-3437（2019）11-0100-03

極限是數(shù)學(xué)分析中的難點(diǎn)，文獻(xiàn)[1]系統(tǒng)介紹了極限的定義以及極限的常規(guī)求法，但是仍有許多特殊類(lèi)型的極限求法較為復(fù)雜，如文獻(xiàn)[2-3]中研究的無(wú)窮和式形式極限的求法.本文通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[4]充分研究，總結(jié)歸納了無(wú)窮乘積形式、積分形式以及一類(lèi)級(jí)數(shù)形式的極限的求法.

一、無(wú)窮項(xiàng)乘積形式的數(shù)列極限求法

因?yàn)閿?shù)列極限的四則運(yùn)算法則僅適用于有限項(xiàng)之間的運(yùn)算，因此對(duì)于無(wú)窮項(xiàng)乘積形式的數(shù)列極限，需要用其他的求極限方法，如對(duì)無(wú)窮項(xiàng)的乘積進(jìn)行適當(dāng)處理變換，用迫斂性、化簡(jiǎn)等方式計(jì)算。因?yàn)楹褪綐O限研究結(jié)論較多，因此也可通過(guò)取對(duì)數(shù)將乘積形式轉(zhuǎn)化成和式形式再求極限.

（一）化簡(jiǎn)

（1）通分

分析：此題目是求無(wú)窮項(xiàng)乘積形式的數(shù)列極限，可以通過(guò)通分的方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使無(wú)限項(xiàng)的乘積轉(zhuǎn)化成有限項(xiàng)的有理式.

（2）利用平方差公式、三角函數(shù)恒等式化簡(jiǎn)

小結(jié)：此種方法的核心要素即將無(wú)限項(xiàng)的乘積轉(zhuǎn)化成有限項(xiàng)的有理式.

（二）迫斂性

（三）轉(zhuǎn)化成和式極限

此類(lèi)型題目的做題原則即是通過(guò)對(duì)求極限對(duì)象取對(duì)數(shù)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，使得乘積形式轉(zhuǎn)化為和式形式，從而利用定積分進(jìn)行計(jì)算.

二、積分形式的極限求法

（一）利用積分中值定理

利用積分中值定理，將積分號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成求正常函數(shù)的極限.

（二）利用變限積分求導(dǎo)法則

上述例子中F（x）為含參量正常積分，只需積分上限函數(shù)、積分下限函數(shù)和被積函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，就可以利用含參量正常積分的連續(xù)性求極限;而對(duì)于含參量反常積分函數(shù)求極限，我們需要根據(jù)含參量反常積分函數(shù)的連續(xù)性，除了判斷被積函數(shù)的連續(xù)性外，還需要判斷含參量反常積分在定義域上一致收斂，如下述例題，

三、級(jí)數(shù)形式的極限求法

級(jí)數(shù)形式的極限即無(wú)限和式的極限，可參閱文獻(xiàn)[5-6]中的方法進(jìn)行求解，如利用和式的和、歐拉公式、施瓦茲定理、等價(jià)無(wú)窮小替換、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式等方法，也可利用級(jí)數(shù)的連續(xù)性，交換極限運(yùn)算和求和運(yùn)算的順序，如下例題.

四、小結(jié)

本文討論了用化簡(jiǎn)、迫斂性、轉(zhuǎn)化為和式的方法來(lái)計(jì)算無(wú)窮項(xiàng)乘積形式的數(shù)列極限，其中化簡(jiǎn)的核心目的是使無(wú)窮項(xiàng)的乘積簡(jiǎn)化為有限項(xiàng)的有理式;以及用積分中值定理、變限積分求導(dǎo)法、含參量積分連續(xù)性來(lái)計(jì)算積分型函數(shù)極限，關(guān)鍵點(diǎn)在于將積分號(hào)巧妙去掉;最后討論了用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性來(lái)計(jì)算一類(lèi)級(jí)數(shù)形式函數(shù)極限的方法，并給出了相應(yīng)的實(shí)例，給數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者計(jì)算極限提供了系統(tǒng)的結(jié)論.

[參考文獻(xiàn)]

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[責(zé)任編輯：林志恒]