一種改進的Bingham巖石蠕變模型研究

王 唯，劉遠明

(貴州大學土木工程學院，貴州貴陽550025)

0 引 言

在諸多巖土工程實際中，廣泛涉及巖石蠕變問題。因此，巖石蠕變方面的研究具有非常重要的理論意義。近年來，隨著技術手段和理論的創新，巖石流變領域的發展取得了豐碩的成果。許多研究學者通過將簡單的彈性、粘性及塑性元件串并聯組合成復雜的模型來描述流變現象。由于受到加載水平的限制，能描述巖石蠕變全過程的模型并不多，尤其是加速蠕變階段。學者們對模型參數進行了改進，取得良好的研究成果[1-2]。夏才初等[3]基于基本流變力學模型進行串聯組合，形成15個流變力學模型，并提出辨識模型的方法；朱昌星等[4]將能夠描述加速流變特性的時效損傷變量引入巖石非線性蠕變損傷模型中，并結合板巖剪切流變試驗驗證了模型的合理性；楊圣奇等[5]對龍灘水電站泥板巖進行剪切流變試驗，將非線性流變元件與西原模型串聯起來，建立了新的能夠描述加速流變特性的巖石非線性流變模型；趙延林等[6]對橄欖巖試樣進行流變試驗，提出由瞬彈性Hooke體、塑性體、改進Bingham體串聯形成的非線性粘塑性流變模型，能反應不同應力水平下巖石流變規律；孫鈞院士[7]對非線性流變問題的求解提供了2種方案：一種是由試驗擬合的經驗本構關系式，另一種是在粘塑性部分內加上一項非線性的經驗粘性元件作為對線性流變模型的修正；唐佳[8]等對白云石英片巖和綠泥鈉長片巖進行蠕變試驗，基于應力-應變曲線，提出在Mohr-Coulomb準則基礎上引入新的M-C塑性元件，構成了改進的Burgers蠕變模型。

綜上，巖石蠕變本構模型建立過程中，通過將模型中的線性元件替換為非線性元件，即可得到能夠描述巖石的加速蠕變過程。本文在已有的流變理論基礎上，建立了一種新的對非線性巖石流變本構模型。

1 非線性流變模型的建立

1.1 巖石的蠕變曲線

巖石的蠕變曲線圖1[9]。圖中，3條蠕變曲線是在不同的應力條件下得到的。其中，σa>σb>σc。當巖石在低應力水平的恒定荷載持續作用下時，應變量雖然會隨時間有所增加，但是蠕變變形的速率會逐漸減小，最后會趨于一個穩定的數值。當應力水平較大時，曲線不在穩定于一個定值，而是無限增加直到破壞。根據應變速率的不同，將蠕變過程劃分為3個階段：第一蠕變階段(曲線中ab段)，應變速率隨時間的增加而減小，稱為減速蠕變階段；第二蠕變階段(曲線中bc段)應變速率保持不變，稱為等速蠕變階段；第三蠕變階段(曲線中cd段)，應變速率迅速增加直到巖石破壞，稱為加速蠕變破壞。

圖1 巖石蠕變曲線

由于傳統的元件基本都是線性的，無論通過何種串并聯組合方式，只能描述其減速和等速蠕變。因此，通過引入非線性粘滯系數的牛頓體，與應力閥值并聯組合新元件來描述加速蠕變的過程。

1.2 非線性Bingham模型的改進

傳統的Bingham模型由1個塑性元件與牛頓粘壺并聯后再與1個Hooke體串聯。蠕變方程為

(1)

式中，ε為蠕變量；E和η為蠕變系數；t為蠕變時間；σs為應力閥值。傳統的Bingham模型見圖2。

圖2 傳統的Bingham模型

當作用應力水平時，傳統的Bingham的蠕變量隨時間呈線性關系。然而在工程實際中，巖石蠕變通常表現為非線性的函數關系；而傳統的Bingham模型只能描述穩態蠕變，并不能描述整個巖石的蠕變過程。因此，通過將Binham模型中的某些線性元件替換為非線元件，可建立描述巖石蠕變全過程的改進的Bingham模型。

為描述巖石的加速蠕變與衰減蠕變過程，曹樹剛等[10]提出粘滯系數是時間的函數關系；宋飛等[11]提出粘滯系數是應力水平與時間的函數關系；周家文等[12]基于流變伺服儀得到綠片巖三軸試驗數據，構造出能夠模擬巖石衰減蠕變和加速蠕變特征的非線性函數；馬林建等[13]對鹽巖的三軸壓縮試驗表明，鹽巖的彈性模量隨加載的時間呈指數遞減趨勢。本文基于流變力學理論，假定在靜力荷載作用下，該模型的彈性元件系數與時間t呈衰減趨勢，衰減規律為

E2(α)=E2/[1-exp(-αt)]

(2)

式中，E2為Bingham模型彈性元件初值，該參數主要反映巖石的瞬時彈性特性；α為控制彈性系數衰減的無量綱參數，可由試驗測定。

則Hooke體的一維方程為

(3)

當σ=σ0時，蠕變方程為

(4)

對于描述巖石加速蠕變階段，不少文獻中組合模型的粘滯體不再是常值，而是用非線性牛頓體來代替。因此，本文從粘滯系數入手，用冪函數形式的粘塑性體來描述巖石加速蠕變隨時間的變化關系。非線性牛頓體的一維方程為

(5)

(6)

本文基于傳統的Binham模型，將模型中的常值牛頓粘體替換為非線性的牛頓體，并串聯1個描述巖石彈性衰減的Hooke體，建立了如圖3所示的改進的Binham模型。圖中，通過引入開關應力閥值σs來表示巖石材料加速蠕變的初始應力，只有當σ>σs時，并聯的粘塑性體才會發生作用。其中，原模型彈性體描述巖石的瞬時彈性變形，非線性彈性體描述巖石的衰減蠕變，粘塑性體描述巖石的加速蠕變。

圖3 改進的Bingham流變模型

根據流變力學相關理論，串聯組合各元件上應力相等，總應變等于各元件應變和。可得基于圖3的狀態方程如下

σ=σ1=σ2=σ3

(7)

ε=ε1+ε2+ε3

(8)

σ1=E1ε1

(9)

(10)

(11)

(1) 當σ≤σs時，該模型退化為2個彈性體串聯，本構方程為

(12)

(2)當σ>σs時，有

(13)

1.3 一維蠕變方程

令σ=σ0H(t)，代入式(12)、(13)本構方程中，方程兩邊經過Laplace變換以及逆變換可得到蠕變方程。

(1)當σ≤σs時，有

(14)

(2)當σ>σs時，有

(15)

1.4 三維蠕變方程

在三維應力狀態下，流變方程很難用形象具體的元件去描述。參照彈性力學方法，將巖石內部1點的應力張量σij分解為球應力張量σm和偏應力張量Sij這2個部分，巖石的三軸應力狀態可由3個不變的主應力σ1、σ2、σ3表示，即

(16)

(17)

同理，也可將應變張量εij分解為球應變張量εm和偏應變張量eij，即

εij=eij+δijεm

(18)

對于大多數各向同性材料而言，一般條件下均存在以下規律[14]：球應變張量只與球應力張量有關，而偏應變張量只與偏應力張量有關，這給建立三維本構方程帶來很大方便。對于一般的線彈性材料而言，球應變張量與偏應變張量分別與球應力張量與偏應力張量成正比。對于彈塑性材料，在塑性范圍內，球應變張量與球應力張量成正比，偏應力張量與偏應變張量的關系比彈性材料要復雜。但是為了尋找6個獨立應變分量與6個獨立應力分量的關系，可簡化為偏應變張量與偏應力張量之間的關系。根據彈性力學理論，可直接寫出三維條件下流微分本構形式為

(19)

式中，eij為偏應變張量；σii為應力；δii為應變；K為體積模量；G為剪切模量。

綜上分析，對于簡單的元件組合模型，可采用單軸蠕變試驗參數確定其參數。孫鈞[15]認為，在三維應力狀態下，蠕變模型很難用形象具體的元件去描述，但三維蠕變本構方程可以采用類比法通過一維蠕變本構方程推導得出，從一維模型到三維模型，只需要將下列的符號對應：σ→Sij、ε→eij、E→G、β→η，則非線性Bingham模型的三維形式為

(20)

exp(tλ)(Sij>σs)

(21)

(22)

2 模型的適用性驗證

2.1 巖石蠕變試驗曲線

為驗證模型的適用性，楊彩虹等[16]采用遼寧工程技術大學能源與新技術研究所自主研制的三軸滲透儀進行了巖石蠕變試驗。天然頁巖單軸壓縮蠕變試驗曲線見圖4。從圖4可以看出，應力水平較低且小于38 MPa時，該模型只發生衰減蠕變和等速蠕變；應力水平大于38 MPa且作用的時間足夠長時，該模型會發生衰減蠕變、等速蠕變以及加速蠕變。因此，該試驗能夠模擬巖石完整蠕變過程，且當應力水平越大時，進入到加速蠕變階段所需時間越短。

圖4 不同應力水平下天然頁巖蠕變

2.2 本構模型的參數確定

1stOpt為目前世界領先的非線性曲線擬合及綜合優化分析計算軟件，該軟件在曲線擬合、非線性復雜模型參數估算求解等領域居世界領先地位。通用全局優化算法(UGO)是1stOpt內置的一種線性優化控制算法，該算法最大特點是克服了當今世界上在優化計算領域中使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即用戶勿需給出參數初始值，而由1stOpt隨機給出，通過其獨特的全局優化算法最終找出最優解。本以天然頁巖蠕變試驗為依據，給出了求解粘彈塑性模型參數的方法[17]。

(1)在低應力狀態下，即σ≤σs，此時的本構模型退化為2個Hooke體串聯，蠕變方程為式(14)。具體的求解方法是：先求解瞬時彈性模量E1，當t=0時，E1=σ0/ε，其中，ε為天然頁巖的瞬時形變量，由圖4蠕變曲線得出，由于σ0已知即可求得；再通過1stopt軟件，通過對試驗數據的擬合求得彈性模量E2以及蠕變參數α。

(2)在高應力狀態下，即σ>σs，單軸壓縮擬合蠕變方程為式(15)，三軸壓縮擬合蠕變方程為式(21)。通過輸入數據并繪制散點圖，自定義函數進行非線性擬合。運用全局優化算法對提出改進后模型蠕變方程的參數進行求取以及模型的適用性驗證。程序運行完成即可得到粘滯系數η1與蠕變指數λ，5個流變參數全部求得。各流變參數值見表1。從表1中可以看出，在不同的應力水平下試驗數據與擬合曲線的相關系數均達到0.9以上。因此，該模型能夠較好地描述巖石蠕變的3個階段，證明了該模型的適用性。

表1 非線性Bingham模型巖石蠕變參數

蔣海飛等采用RLW-2000巖石三軸流變試驗系統，對取自重慶某深基坑細砂巖進行三軸蠕變試驗。該巖石的單軸抗壓強度為63.40 MPa。蠕變試驗設計有2種加載工況，見表2。選取1號試件在高于屈服應力水平下的相關試驗和數據，對本文提出的本構方程式(21)進行擬合和模型參數的求取。三軸條件下的砂巖應變曲線的擬合參數見表3。擬合曲線見圖5。

表2 三軸蠕變試驗工況

注：1號試件自然干燥。

2.3 非線性參數影響分析

從非線性模型的擬合曲線選取3種蠕變曲線代表曲線(見圖6)以及表1的參數反演可得，在應力水平未達到開關閥值，且當α越小時，在相同時間內，蠕變變形量和蠕變速率越大，而且進入到穩態蠕變階段的時間延長，同時衰減蠕變的曲率半徑越大；當應力水平達到開關閥值時，通過分析41、45、55 MPa與65 MPa數據曲線可知，隨著λ的增大，巖石經歷加速蠕變階段的時間縮短，且在相同時間內，蠕變變形量和蠕變速率也越大。λ的值與巖石非線性加速有很大關系，這也說明了本文考慮這2個系數對巖石蠕變過程的必要性與合理性。

表3 砂巖應變曲線的擬合參數

圖5 擬合曲線

圖6 不同應力狀態下擬合曲線

比較頁巖和砂巖在加速蠕變階段的擬合值發現，砂巖的蠕變指數λ較頁巖高1個數量級，可能參數λ的大小與巖石種類以及受到的荷載有關，具體的變化規律需進一步研究確定。

從圖5、6可知，試驗數據與擬合曲線兩者吻合效果良好，特別在高應力狀態下擬合的相關系數R2接近于1，因此基于改進的Binghan模型所建立的本構方程能較好地描述靜力荷載下巖石蠕變規律。

3 結 語

本文基于傳統的Bingham模型，將其模型中的常值牛頓粘體替換為與時間相關的非常值元件并串聯一個非線性彈性元件，建立了基于靜力荷載下非線性Bingham模型，得出下以結論 ：

(1)與傳統的Bingham模型相比，改進后的非線性模型能夠較好地模擬巖石的衰減蠕變與加速蠕變階段，且該模型參數較少，模型簡單方便用于工程實際。

(2)基于改進后的Bingham模型所推導的流變本構方程對頁巖與砂巖的試驗數據擬合表明，所建立的本構方程能較好地描述巖石蠕變整個階段，尤其是加速蠕變階段，擬合曲線與試驗數據的相關系數R2均在0.9以上。因此，與傳統的流變模型對比，本文模型更適合描述巖石材料的流變性質。

(3)通過對控制衰減蠕變系數α與加速蠕變系數λ進行參數分析，α隨應力水平增大而減小，且α越小，衰減蠕變的時間越長；λ隨應力水平增大而增大，且λ越大，巖石在加速蠕變階段的蠕變速度越大。