基于性能檢測信息的加速度計可靠性評估

蓋炳良，滕克難，張曉瑜，王 ，高 松，劉 星

(1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.中國人民解放軍32317部隊，烏魯木齊 830001)

0 引 言

MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems)加速度計是高精度的機電一體化產品，是導彈慣導系統的關鍵部件，對戰術導彈智能化、微型化起到重要的作用[1]。加速度計的可靠性與穩定性關乎導彈的作戰使用效能，因而掌握其貯存可靠性對導彈可靠性意義重大。在產品總體可靠性評估中，考慮個體差異性，能更科學、客觀、全面地反映產品總體的實際情況，為批次產品的貯存延壽提供更為準確的決策信息。在產品個體剩余壽命預測中，有效融合總體信息，能更準確地掌握個體壽命信息，這對于有效開展預防性維修、視情維修等工作至關重要。

加速度計等產品通常隨慣導產品整機單獨貯存，根據任務情況使用，在貯存-轉運-值班等任務中個體差異性明顯，這種差異性往往反映在性能檢測數據中。基于性能檢測數據的加速度計可靠性評估中，通常選取標度因數[2-3]或者零位電壓[4]作為壽命表征參數。由于MEMS加速度計的失效機理比較復雜，通過失效物理的手段建立退化失效模型比較困難，文獻[2-8]都采用基于數據擬合的方法進行可靠性評估。

1 基于一元性能檢測數據的可靠性評估

在獲取一元性能檢測數據后，基于一元性能檢測數據的可靠性評估內容主要包括性能退化建模、參數估計、模型選擇以及可靠性指標計算(總體平均壽命、總體可靠壽命、個體剩余壽命等)。

性能退化建模即構建考慮隨機影響的隨機過程模型庫。非單調退化產品適用Wiener過程模型庫，而單調退化產品適用Wiener過程模型庫、Gamma過程模型庫和IG(Inverse Gaussian)過程模型庫。

模型選擇是逐一對多個模型建模并進行參數估計，然后采用QQ圖、隨機參數箱線圖和DIC值等方法，對通過模型驗證的待選模型綜合分析后擇優確定相對最優模型。

可靠性評估主要指裝備總體的可靠性評估，通過可靠度函數計算裝備平均壽命、可靠壽命等指標，為批次裝備的貯存延壽提供依據。

2 隨機過程模型

本文從產品退化過程的均值和方差角度，將考慮隨機影響的3類隨機過程模型標識如下：

RD模型 (Random Drift Model)：不同產品具有不同的退化過程均值，而方差都相同。

RV模型 (Random Volatility Model)：不同產品具有相同的退化過程均值，而方差不相同。

RDV模型(Random Drift-Volatility Model)：不同產品具有不同的退化過程均值和方差。

另外，采用SM標識隨機過程基本模型(Simple Model)，即不同產品都具有相同的退化過程均值和方差。

2.1 Wiener過程模型

文獻[9]給出了4類Wiener過程模型，其可靠度函數分別為

SM模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))。

(1)

式中：μ為漂移參數；σ為擴散參數；B(·)為標準Brown運動函數；Λ(t)為時間函數，Λ(0)=0；Φ(·)為標準正態分布函數。

(2)

RV模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))，?=σ-2～Gamma(aσ,bσ)。

(3)

RDV模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t)),?=σ-2～

(4)

2.2 Gamma過程模型

借鑒文獻[10]所用模型，構建了Gamma過程模型。

SM模型：X(t)服從Gamma過程，即滿足：

(1)X(0)=0；

(2)對任意0≤t1

(3)獨立增量ΔX(t)服從Gamma分布ΔX(t)～

Gamma(λΔΛ(t),ξ)，ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t)，ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t)。Λ(t)為時間函數，Λ(0)=0；λ(λ>0)為形狀參數；ξ(ξ>0)為尺度參數。

產品壽命T定義為X(t)首次達到閾值D的失效時間，則產品可靠度函數為

(5)

gξ(ξ|aξ,bξ)dξ=

(6)

gξ(ξ|aξ,bξ)dξ=

(7)

(8)

式中：F2λΛ(t),2aξ(·)為自由度為2λΛ(t),2aξ時的F分布函數。

2.3 IG過程模型

借鑒文獻[11]模型，構建IG過程模型。

SM模型：X(t)服從IG過程，即滿足：

(1)X(0)=0；

(2)對任意0≤t1

定義產品壽命T為X(t)首次達到閾值D時，可得可靠度函數[11]：

(9)

gκ(κ|aκ,bκ)dκ=

(10)

式中：φ(·)為標準正態分布概率密度函數。

gκ(κ|aκ,bκ)dκ=

(11)

(12)

3 貝葉斯參數估計和模型選擇

3.1 參數估計

Wiener RD模型中X的似然函數描述如下：

(13)

獲取固定參數αF先驗分布π(αF)和超參數αH先驗分布π(αH)后，就可融合先驗分布和似然函數，從而得到參數的后驗分布p(αF,αR,αH|X)∝π(αF)π(αH)L(X,αR|αF,αH)。

后驗分布的求解采用基于MCMC的后驗分布抽樣的方法實現參數估計，具體實施則借助于OpenBUGS軟件編程實現。

3.2 模型選擇

性能退化過程模型驗證通常可根據隨機過程統計特性進行驗證。

Wiener SM過程需滿足如下分布：

(14)

Gamma SM過程需近似滿足如下分布[12]：

(15)

IG SM過程需滿足如下分布[12]：

(16)

在獲取參數估計值后，可以采用KS檢驗(Kolmogorov-Smirnov Test)對Wiener過程模型和Gamma過程模型進行驗證，采用卡方檢驗對IG過程模型進行驗證。對隨機影響模型進行驗證時，式(14)～(16)的參數值應取各樣本的隨機參數估計值。模型選擇的定量方法，如常用的DIC值,DIC值定義如下：

(17)

采用圖形方法選擇是常用的比較直觀的方法，一種方法是常用的QQ圖，此外，可以采用隨機參數的箱線圖。通過比較不同樣本的隨機參數箱線圖，就可直觀判斷出該隨機參數是否具有個體差異性，進而為模型選擇提供依據。

4 可靠性評估

面向貯存延壽的可靠性評估主要針對批次產品的貯存壽命、可靠壽命進行評估，從而對產品的貯存延壽、甚至裝備更新換代及裝備部署提供決策依據。經過貝葉斯參數估計后，抽樣生成了包含固定參數、超參數和隨機參數的后驗分布樣本。產品總體可靠性評估時，利用固定參數和超參數的后驗分布均值建立可靠度函數，而模型隨機參數的后驗分布抽樣樣本則在模型選擇時作為參數是否具有隨機性的判斷依據。產品總體平均壽命為

(18)

以Wiener RV模型為例，說明求取平均壽命可靠性指標置信區間的算法。具體步驟如下：

(1)按照RV模型生成單個樣本的仿真退化數據：

(19)

初始值Λ0=0，X0=0。具體的檢測時間間隔Δt=tj-tj-1可根據產品的平均壽命值合理確定；

(2)計算Xj=Xj-1+ΔXj；

(3)判斷Xj與D大小。當Xj

(4)重復步驟(1)～(3)N次(N>2 000)，得到N個樣本的壽命值T1，T2，…，TN；

(5)將N個樣本壽命值T1，T2，…，TN按升序排列，表示為T(1)，T(2)，…，T(N)；

工程中同樣關注產品的可靠壽命TR*(可靠度值為R*)，如關注高可靠性產品可靠度值降至0.9時的壽命值。求解可靠壽命TR*：

RWRV(TR*)-R*=0

(20)

式(16)可采用Matlab 軟件fzero函數求解。在平均貯存壽命置信區間算法基礎上，可進一步計算出可靠壽命TR*的置信區間。算法步驟如下：

(1)執行求取平均壽命置信區間的算法一次，得到一組T(1)，T(2)，…，T(N)；

(2)計算n=N×(1-R*)，則T(n)是TR*的一個樣本；

5 實例驗證

文獻[4]對某MEMS加速度計的零位電壓輸出值進行了定期測量，發現在長期貯存過程中電壓輸出值有逐漸增大的趨勢。將t時刻零位電壓測量值相當于初始時刻t=0測量值的百分比增量作為性能退化指標，當百分比增量到10%時，MEMS加速度計發生退化失效，即失效閾值D=10。

5.1 參數估計

樣本性能檢測數據呈單調增長，Wiener過程、Gamma過程和IG過程模型庫中的模型都能適用。采用第2節方法進行建模，采用第3節方法進行貝葉斯參數估計,先驗分布采用均勻分布,參數估計結果如表1～3所示。

表1 Wiener過程模型參數估計值Table 1 Parameter estimation values of Wiener process models

5.2 模型選擇

首先進行模型驗證。模型驗證既檢驗單個樣本的數據，也檢驗所有樣本的數據。通過模型檢驗，結果如下：

(1)Wiener過程模型庫4個模型不論是單個樣本還是所有樣本的總體都接受標準正態分布。

(2)Gamma過程模型庫單個樣本檢驗中，第6個樣本拒絕SM，RD，RV模型，而RDV模型所有樣本都接受標準正態分布。在樣本總體檢驗中，Gamma RD模型沒有通過標準正態分布檢驗。

(3)IG過程模型庫中，4個模型都拒絕了樣本總體的假設檢驗。

QQ圖也能較好地反映出模型擬合情況。以Gamma過程模型為例進行說明。圖1給出了Gamma過程模型庫樣本總體的QQ圖，其中 RD模型數據明顯偏離直線，而其他模型擬合較好。說明Gamma RD模型沒有通過標準正態分布檢驗。

因而，Wiener過程4個模型以及Gamma SM，RV和RDV模型是待選模型(DIC值分別是-39.75，-38.34,-45.98,-37.82,-42.07,-42.64,-32.77)。進一步分析7個待選模型的隨機參數，直觀判斷是否具有個體差異性，并結合DIC值確定相對最優模型。圖2～4給出了隨機參數的箱線圖。

表2 Gamma過程模型參數估計值Table 2 Parameter estimation values of Gamma process models

表3 IG過程模型參數估計值Table 3 Parameter estimation values of IG process models

圖1 Gamma 過程模型的QQ圖Fig.1 QQ plot of Gamma process models

圖2 Wiener過程模型箱線圖Fig.2 Boxplot of Wiener process models

圖2中，隨機參數μ和σ的波動性都不是特別明顯，但μ的波動性相比于σ更小。不論是RD模型還是RDV模型，8個樣本μ的均值連線趨于水平，而σ的均值連線呈現出了一定的上下波動性。從DIC值分析，RV模型的DIC值最小。因而，Wiener模型中RV模型擬合相對較好。

圖3 Gamma過程模型箱線圖Fig.3 Boxplot of Gamma process models

圖3中，RD和RDV模型具有個體差異性，而RV模型個體差異不明顯。Gamma RD模型沒有通過模型驗證，因而RDV模型是Gamma過程模型中擬合相對較好的模型。RDV模型是Gamma過程模型中DIC值相對最大的模型，而綜合分析卻是相對較好的模型。可見，僅以DIC值為選擇標準將造成模型誤判。

圖4中，箱線圖沒有波動，表明不具有個體差異性，3個考慮隨機影響的IG模型不適合該性能退化數據的建模，這從IG SM模型的DIC值最小也得到了驗證。當然，從模型驗證可知，SM模型也并不是合適的模型，因而4個IG過程模型不適合此組性能檢測數據的建模。

圖4 IG過程模型箱線圖Fig.4 Boxplot of IG process models

綜上，Wiener RV模型或者Gamma RDV模型是擬合相對較好的模型。選擇DIC值相對較小的模型，則Wiener RV模型是最終選擇的模型。

5.3 可靠性評估

確定采用Wiener RV模型后，將表1中RV模型參數估計值代入式(7)就可得到該型MEMS加速度計的可靠度函數:

(21)

可靠度曲線如圖5所示。圖中同時給出了Gamma RDV模型的可靠度曲線RGRDV(t)和文獻[4]計算得到的可靠度曲線Ro(t):

(22)

(23)

從圖5可知，可靠度曲線相差較大，不經過模型選擇，會發生較大的誤差。由式(18)可求得產品總體的平均壽命為49 754.8 h，可靠壽命T0.9為43 703.7 h，90%置信區間分別為[46 000,60 000]和[43 200,45 000]。

圖5 可靠度曲線Fig.5 The reliability curves

6 結 論

本文研究了基于一元性能檢測數據的MEMS加速度計的可靠性評估。主要研究結論如下：

(1)基于一元性能檢測數據的可靠性評估，通過隨機過程模型庫建模、貝葉斯參數估計和模型選擇，進而實現產品總體可靠性評估，為利用一元性能檢測數據進行可靠性評估提供了行之有效的技術方案。MEMS加速度計的實例分析表明，該技術框架為解決機電部件等彈載退化型產品可靠性評估提供了重要參考。

(2)從性能退化過程的均值和方差是否具有隨機性角度，構建考慮隨機影響的隨機過程模型庫是一種可行的建模方案。非單調性退化產品適用Wiener過程模型庫。單調性退化產品應在Wiener過程模型庫、Gamma過程模型庫和IG過程模型庫中通過模型選擇確定相對最優模型，以避免模型的誤判。

(3)貝葉斯參數估計和模型選擇是可靠性評估的重要內容。通過OpenBUGS軟件實現基于MCMC方法的后驗分布參數估計，進而在模型驗證基礎上，綜合分析QQ圖、隨機參數箱線圖和DIC值來確定相對最優模型。MEMS加速度計的實例分析表明這是一種合理可行的模型選擇方法。