對空導彈射后動態可攻擊區的快速高精度擬合方法研究

葛魯親，孫 旺，南 英

(南京航空航天大學 航天學院，南京 210016)

0 引 言

射后動態可攻擊區是對空導彈在攔截過程中實時可攻擊的范圍，與傳統概念上射后動態可攻擊區稱作發射時刻的可攻擊區不同，其指的是導彈在發射后某工作狀態下可攔截到的空間區域[1]。

目前對于導彈可攻擊區的計算方法主要可分為快速模擬法、黃金分割法、插值法和逼近擬合法。快速模擬法[2]主要是對微分方程求解過程中的利用變步長等一些簡化積分方法換取快速計算速度，但是簡化模型很難符合復雜的實時攻防對抗環境。黃金分割法[3]用于對可攻擊區遠近邊界的距離尋優解算過程中，不需要事先知道計算次數，但收斂速度一般，不能滿足實時性的要求。插值法[4]降低了積分的階次，提高了計算精度，但是為了在實戰過程中實時進行一元、多元插值，需要機載計算機預先裝載導彈和目標在各種作戰環境下的計算數據，而作戰環境十分復雜，計算機很難裝載任意狀態下可攻擊區數據。逼近擬合法主要包括最小二乘擬合[5]、分段擬合[6]、BP神經網絡擬合[7-8]等，逼近擬合過程中，擬合參數與多項式之間的關系十分復雜，需要利用大量的可攻擊區輸入數據解算多項式系數，且擬合參數容易陷入局部最優解，適用范圍小。

本文綜合考慮了對空導彈射后動態可攻擊區的快速性和高精度性能的需要，采用了一種基于遺傳算法優化的改進BP(GA-BP)神經網絡算法，用于實時在線地對導彈射后動態可攻擊區進行擬合。該方法通過平移數值算法[9]解算大量的導彈射后動態可攻擊區數據庫作為BP神經網絡的訓練樣本數據庫，利用遺傳算法[10](GA)優化BP神經網絡結構和參數,網絡經過訓練之后，最終得到全局搜索尋優BP神經網絡結構，該網絡結構可用于對空導彈復雜飛行環境中的射后動態可攻擊區快速、高精度擬合。

1 問題描述

針對對空導彈在發射后對多個目標飛行器攔截，需要快速、高精度地解算出導彈實時的可攻擊點(X(t),H(t),Z(t))，這些攻擊點形成的包絡區域則為該對空導彈該狀態下的射后動態可攻擊區Σt，即Σt=Γ[X(t),H(t),Z(t)]。導彈實時在線地判斷出目標是否處于可攻擊區內，即

QT,i(t,XT,HT,ZT,VT,nT,γT,ψT,qT)∈Σt

(1)

式中：QT,i(i=1,2,…,NT)為目標飛行器的飛行狀態；t為當前時刻；(XT,HT,ZT)為目標飛行器的位置；VT為目標飛行器的速度；nT為目標飛行器的當前法向過載；γT,ψT為目標飛行器的俯仰角和偏航角；qT為彈目視線角。

對于射后動態可攻擊區計算，傳統的可攻擊區計算只是針對導彈預先計算初始發射時刻的可攻擊區，射后不再進行實時可攻擊區計算。具體的導彈射后動態可攻擊區Σt指的是導彈以初始預置軌跡飛行，根據當前導彈的總體飛行狀態，能夠以一定概率命中目標飛行器的三維空域。

(2)

式中：Rin(t)和Rout(t)分別為導彈在發射t時刻的可攻擊區最大與最小邊界；(Xin,t,Yin,t,Zin,t)和(Xout,t,Yout,t,Zout,t)分別為t時刻下需要擬合的內外邊界的三維坐標；Ht,Vt,γt分別為導彈t時刻的高度、速度和彈道傾角；mF,t為t時刻的剩余燃料；nt為t時刻的總過載；qt為t時刻彈目視線角；λ1,λ2為導彈運動特性、環境特性等方面的約束條件。

2 數學模型[11]

2.1 對空導彈運動學模型

對于導彈的運動方程，主要考慮到質心運動，而地球自轉、扁率和地球半徑隨緯度變化等次要因素在研究質心運動特性或對稱姿態運動時不做考慮，可以不加推導給出一般運動方程：

(3)

(4)

(5)

式中：h，x，z分別為導彈所在高度、經度、緯度；V，γ，ψv分別為導彈的速度、軌跡傾角、偏航角。

2.2 對空導彈動力學模型

對于導彈的動力學運動，只考慮導彈的3個標量動力學方程，不考慮導彈繞質心轉動情況，不加推導可給出以下導彈動力學方程：

(sinγcosφ-cosγsinψvsinφ)

(6)

sinγsinψvsinφ)

(7)

(8)

r=R+h

(9)

式中：P為發動機的推力大小；R為地球半徑；α,β,σ分別為導彈飛行攻角、側滑角、滾轉角；ψv為彈道偏角；ωd為地球的自轉角速率；Cx,Cy,Cz分別為導彈的阻力系數、升力系數、側向力系數。

2.3 對空導彈制導律模型

對于對空導彈的制導控制，整體采用氣動舵+推力矢量控制方法。對空導彈采用PID控制律下的復合制導法，即

(10)

3 對空導彈動態可攻擊區的計算方法

導彈在飛行過程中，根據總體飛行狀態信息，采用平移數值算法對其最遠和最近可攻擊的邊界點進行初步解算，建立導彈不同飛行狀態下的遠近邊界點的數據庫，在數據庫中選擇相應數據作為GA-BP神經網絡的訓練樣本與測試樣本，進行擬合計算。

3.1 可攻擊區邊界點解算

對于導彈在某種狀態下可攻擊區邊界點的解算，平移數值算法在進退法基礎下，在邊界點的搜索過程中，只需將標準的可攻擊區邊界點進行適當的縮放就可以解算出邊界點，搜索效率得到大幅度提高。在無誤差的標準可攻擊區上進行操作，與快速模擬法對比，外來引入誤差更小，從而有更好的搜索精度，滿足高精度的解算需求。

3.2 BP神經網絡的優化與擬合

針對BP神經網絡受搜索空間的限制、學習算法的收斂速度過慢等問題，利用GA算法對神經網絡的結構和權值進行優化，在解空間定位出較好的搜索空間，并搜索出最優解之后不斷迭代，克服了其不能滿足全局收斂而陷入局部最小、預測精度較小等缺陷，使得優化后的網絡具有全局快速、高精度收斂等性能。

本文通過遺傳算法優化BP神經網絡，對BP神經網絡中的隱含層神經元個數M、網絡初始的權值和閾值進行了有效優化，并保證了獲取全局最小值。圖1所示為基于GA-BP神經網絡的可攻擊區擬合流程，具體的可攻擊區擬合過程如下：

步驟一：確定網絡結構，即確定輸入層節點數、輸出層節點數與隱含層節點數和層數。

步驟二：初始化BP神經網絡權值、閾值。

步驟三：對染色體權值、閾值編碼。將網絡中所有權值和閾值抽象成一組有序染色體，系統隨機生成若干個染色體個體，其中，某個染色體的構成為

圖1 基于GA-BP神經網絡的可攻擊區擬合流程Fig.1 Fitting process of attack zone based on GA-BP neural network

Xk={lk,ω1k,ω2k,θ1k,θ2k}

(11)

式中：lk為染色體Xk的隱含層節點數；ω1k,ω2k分別為染色體Xk的輸入層與隱含層之間權矩陣、隱含層與輸出層之間權矩陣；θ1k,θ2k分別為染色體Xk的輸入層與隱含層之間閾值、隱含層與輸出層之間閾值。

步驟四：構建樣本數據庫。對網絡輸入數據經過標準歸一化處理后，把輸入指標無量綱化為0～1之間的實數用來訓練網絡，使得網絡更加高效、準確地處理數據。對于類型輸入指標，量化方式也不一樣，對于量化值越小越好的指標可表示為

(12)

對于量化值越大越好的指標可表示為

(13)

式中：ai為無量綱化值；xi為輸入指標量化值；xmax,xmin分別為指標量化的最大值、最小值。

步驟五：適應度計算。適應度函數是用來評價染色體對環境的適應程度，為接下來的個體選擇提供依據。個體適應度函數F(Xk)是根據網絡的實際輸出與期望輸出之差的誤差平方和來表示：

(14)

步驟六：進化。進化過程由染色體上的基因進行選擇、交叉、變異等操作構成。

(1)選擇過程：根據式(14)可得到群體中每個染色體個體的適應度，按照降序排列之后，依據輪盤賭選擇法決定出下一代復制該個體的數目，適應度越高，下一代中復制的數目越多。

(2)交叉操作：在染色體選擇復制的過程中，隨機選出2個染色體以一定的概率進行某些位的編碼位交換。交叉的作用能進行基因重組，避免總是復制上一代染色體序列。其中，交叉概率Pc控制交叉操作的頻率，需要確定合適的Pc控制最優解，具體交叉概率如下表示：

(15)

式中：k1,k2為(0,1)隨機數;fk為適應度較大的個體;favg為所有個體的平均適應度。

(16)

式中：Xmax,Xmin分別為基因串值最大化、最小化的初始值。

步驟七：終止判斷操作。經過對染色體串的選擇、交叉、變異操作后，判斷網絡輸出可攻擊點的適應度是否滿足最優解的誤差條件。若滿足，終止GA，輸出最優權值與閾值；若不滿足，則返回步驟五和步驟六。

4 對空導彈動態可攻擊區的數值仿真

4.1 GA-BP神經網絡的結構與初始參數設定

(17)

式中：A1，A2分別為輸入層到隱含層、隱含層到輸出層的輸出矩陣；ω1為輸入層與隱含層的權矩陣；b1為輸入常數向量；ω2為隱含層與輸出層的權矩陣；b2為輸出常數向量；輸入層到隱含層的轉換函數f1為tansig(),隱含層到輸出層的轉換函數f2為Purelin()。圖2所示為具體的BP網絡結構。

圖2 BP神經網絡初始結構Fig.2 Initial structure of BP neural network

遺傳算法中，設置最大迭代次數為100，學習速率為0.1，性能指標為1×10-5，種群的規模設置為30，交叉概率為0.3，變異概率為0.1，進化時采用輪盤式選擇。

BP神經網絡通過GA算法優化之后，可以全局尋找一個最優的BP神經網絡結構參數，該網絡能夠快速、高精度地擬合出導彈射后動態可攻擊區。在仿真過程中，將導彈和目標的總體飛行狀態等變量作為網絡的輸入，可得到導彈實時射后動態可攻擊區。

4.2 樣本數據庫構建

飛行總體狀態下對空導彈可能的射后動態可攻擊區的數據量十分巨大且復雜，不能完全考慮所有參數，本文選擇主要的參數建立可攻擊區的數據庫，主要考慮了導彈所在高度H,導彈飛行速度V，導彈軌跡傾角γ，剩余燃料mFuel，導彈總過載n。導彈總體飛行約束狀態如下：

(18)

由式(18)可知，在滿足總體范圍約束條件下，導彈所在高度H可取為5 km,7.5 km,8 km,10 km,12.5 km,15 km；導彈飛行速度V可取為250 m/s,300 m/s,350 m/s,400 m/s，450 m/s；導彈軌跡傾角γ可取為-10°，-5°,0°,5°,10°；剩余燃料mFuel可取為0,25%,50%,75%,100%，導彈總過載n可取為0,10g,30g,50g,70g。分別對每種初始狀態進行取值，代入C++程序計算出各種狀態下的最大可攻擊區邊界和最小可攻擊區邊界，構建相應的可攻擊區邊界點的數據庫。

4.3 GA-BP神經網絡的樣本訓練與樣本測試

GA-BP算法設置中，把55×2組數據庫分為內外邊界兩組，分別在每組中隨機選擇1 750組樣本，其中1 625組樣本作為訓練樣本，剩下的125組樣本作為測試樣本，網絡經過GA優化后BP神經網絡的均方誤差可從1.0×10-5到1.0×10-6，圖3為染色體適應度隨進化次數變化曲線。由圖3可知，進化次數為100次時，適應度曲線趨于穩定。

圖3 適應度隨進化次數變化曲線Fig.3 The curve of fitness varying with the evolutionary times

對三維可攻擊區邊界點輸出進行特征選取、降維處理之后，三維矩陣轉換為導彈仿真位置點到解算出邊界點的距離向量。將樣本分別輸入到BP神經網絡和GA-BP神經網絡進行對比，如圖4～5所示。圖4中的星形表示BP神經網絡與GA-BP神經網絡的訓練樣本誤差；圖5中的星形表示BP神經網絡與GA-BP神經網絡的測試樣本誤差。

由圖4～5可知，BP神經網絡通過GA算法優化之后，具有更小的訓練樣本誤差和測試樣本誤差，以及更精準的樣本預測輸出，而且樣本擬合的誤差縮小了近一半，GA-BP對可攻擊區邊界點的擬合更加精確、可靠。

4.4 仿真結果與分析

導彈沿著某條尾追型運動軌跡中，取導彈0 s，10 s，20 s時的總體狀態作為輸入，利用GA-BP對射后可攻擊區進行擬合仿真，表1為具體對空導彈各時段的飛行仿真參數。其中，目標速度為300 m/s，在以導彈為中心的±5 km高度和±40°視線角范圍內飛行。

圖4 BP神經網絡與GA-BP神經網絡的訓練樣本誤差Fig.4 Training sample error of BP neural network and GA-BP neural network

圖5 BP神經網絡與GA-BP神經網絡的測試樣本誤差Fig.5 Test sample error of BP neural network and GA-BP neural network

表1 對空導彈各時段的飛行仿真參數Table 1 Flight simulation parameters of antiaircraft missile in different periods

(1)0 s時仿真算例

設置導彈沿著該軌跡下發射時刻總體飛行狀態為[H,V,γ,mFuel,n]|t=0=[10 km，300 m/s，0°，100%，0]，通過仿真和擬合得到可攻擊區如圖6所示。其中，圓圈表示通過仿真計算得到的實時可攻擊區邊界點，星形表示通過GA-BP擬合得到的可攻擊區邊界點，矩形塊表示仿真開始時導彈的位置點。

圖6 導彈發射時刻的可攻擊區Fig.6 Attack zone of missile launch time

(2)10 s時仿真算例

設置導彈沿著該軌跡下的10 s時總體飛行狀態為[H,V,γ,mFuel,n]|t=10=[7.59 km，415.56 m/s，8.89°，86.56%，25.75g]，圖7所示為通過仿真和擬合得到的射后10 s的可攻擊區。

圖7 導彈發射后10 s的可攻擊區Fig.7 Attack zone of missile after being launched at 10 s

(3)20 s時仿真算例

設置導彈沿著該軌跡下的20 s時總體飛行狀態為[H,V,γ,mFuel,n]|t=20=[12.13 km，448.10 m/s，-8.93°，65.21%，30.12g]，圖8所示為通過仿真和擬合得到的射后20 s的可攻擊區。

對于圖6～8的算例，分別選取了導彈在不同總體飛行狀態進行仿真計算實時可攻擊區與GA-BP算法擬合得到的可攻擊區。對于GA-BP網絡，采用GA算法有效抑制了網絡陷于局部最小，達到全局最優，且有較好的擬合逼近性能。表2為仿真算例中擬合數據誤差。

圖8 導彈發射20 s的可攻擊區Fig.8 Attack zone of missile after being launched at 20 s

表2 仿真算例中擬合數據誤差對比Table 2 Fitting Error Comparison in simulation examples

綜合仿真結果，由圖6～8與表2可知,尾追型對空導彈的遠邊界、上下側邊界隨著時間不斷縮小[1]；GA-BP和BP神經網絡的最大平均誤差分別為879.279 m和1 669.784 m，最大誤差最大值分別為1 468.264 m和3 524.259 m，最小誤差最大值分別為139.351 m和495.767 m，GA-BP相比BP神經網絡擬合誤差較小，擬合效果更精準、可靠。

5 結 束 語

本文針對導彈射后動態可攻擊區快速、高精度計算的需要，采用了GA-BP可攻擊區擬合方法。仿真結果表明，該方法擬合的對空導彈射后動態可攻擊區與實際仿真解算的可攻擊區邊界點的差異很小，能夠滿足實時在線計算的需要，并且有著更高的擬合精度，在導彈攔截任務、多彈協同攔截作戰過程中顯示出優越性與廣泛的應用前景。