基于自適應遺傳算法的MEMS加速度計快速標定方法

高爽，張若愚

（北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100083）

作為慣性測量系統的核心元件，微慣性測量單元（MIMU）是微機電系統（MEMS）的一個重要分支，具有體積小、成本低、質量輕、功耗低和耐沖擊性等優點，在普通民用和戰略軍用導航等領域具有廣闊的應用前景［1］。然而，在實際應用中，由于MEMS器件誤差及系統誤差受慣性測量單元的結構設計、外部環境等因素影響較大，MEMS慣性器件的精度成為制約MIMU導航性能的主要技術瓶頸之一。因此，MIMU的標定補償成為低精度慣性導航領域的一大研究熱點［2］。

分立式標定方法操作復雜，步驟繁瑣，標定精度主要由轉臺精度決定。由于MIMU標定精度要求低、大批量生產等特點，需尋求簡單易行的快速標定方法。為克服傳統標定方法的弊端，L?tters等［3］首次提出基于模觀測的加速度計標定方法，將標定問題轉化為優化問題。在模觀測標定中，研究關鍵在于非線性方程組的求解，其中，最常用的方法是迭代算法。Frosio等［4］采用牛頓迭代法求解非線性方程組，實現MEMS加速度計的外場自動標定，標定精度比傳統標定方法提升一個數量級；Won和Golnaraghi［5］應用非線性最小二乘法進行迭代計算，在獲得待標定參數的前提下降低了運算時間；Fong等［6］將下山單純形算法應用于最小化目標函數，為加速度計的免轉臺標定提供了理論基礎。然而，迭代算法存在的問題是求解過程復雜，初始值選取的優劣直接影響其收斂性和迭代結果。針對迭代算法存在的不足，基于迭代思想的智能算法以其在優化求解中的適用性、魯棒性等突出優勢，為標定優化問題提供了一種新思路。戴邵武等［7］采用粒子群優化（PSO）算法對加速度計進行快速標定，但未進行標定方法的現場試驗驗證；楊管金子等［8］利用遺傳算法（GA）完成加速度計的免轉臺標定，但未實現對安裝誤差參數的標定。

針對以上問題，在不依賴轉臺的前提下，本文提出了一種基于自適應遺傳算法的MEMS加速度計快速標定方法。實驗結果表明，該方法能快速準確標定出全部誤差參數，縮短標定時間，提高標定精度，且標定后能達到與傳統標定方法相同量級的姿態精度。

1 加速度計標定模型

1.1 加速度計輸出模型

在實際應用中，由于工作原理、制造工藝及使用環境等因素的影響，MIMU測量的輸出信息通常會含有誤差，測量輸出應根據輸入加速度信息和誤差項建立數學模型。MIMU中加速度計的輸出誤差模型為

式中：［NxNyNz］T為加速度計的測量輸出；［fxfyfz］T為 加 速 度 計 的 實 際 輸 入；［BxByBz］T為加速度計的常值零偏；Sii（i=x，y，z）為加速度計的標度因數；Eij=Sii·Mij（i，j=x，y，z），Mij為加速度計的安裝誤差。

根據式（1）加速度計的輸入輸出關系，將加速度計的零偏、標度因數和安裝誤差進行補償后，可得載體的實際加速度。補償后的加速度計輸出模型為

1.2 模觀測標定原理

在靜止狀態下，加速度計的測量輸出滿足：

對式（3）兩側分別取模值：

在靜止狀態下，加速度計測量輸出的模總是等于當地重力加速度的模，與加速度計的姿態無關［9］。因此，以加速度計測量輸出的模為觀測量，可實現對加速度計誤差參數的標定。

根據模觀測原理，將補償后的加速度計輸出模型代入式（4）后取平方得

式中：Ka、Na、Ba分別與式（1）中元素相對應，Ka為標度因數和安裝誤差矩陣，Na為測量輸出矩陣，Ba為零偏矩陣。

式（5）為單位置下加速度計的非線性輸出方程。為求解標定參數，需對多位置下的測量輸出進行觀測，即聯立非線性方程組。然而，由于器件固有的噪聲和外界環境干擾等因素，加速度計實際輸出的模與重力加速度之間存在誤差，非線性方程組可改寫為誤差函數的形式：

式中：θ=［KaBa］為待標定參數；N為測試位置數。

通過構造目標函數，以標定參數為狀態量，可將非線性方程組的求解問題轉化為非線性函數的優化問題，通過最小化目標函數實現對誤差參數的標定。

2 基于自適應遺傳算法的標定參數求解

遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和遺傳機制發展起來的隨機搜索優化算法，基于適者生存的原則，通過模擬自然進化在種群內的優勝劣汰實現對最優解的搜索［10］。遺傳算法以群體搜索和個體間的信息交換為準則，采用概率法隨機尋優，以其并行性、魯棒性及自適應性等突出優勢被廣泛應用于系統辨識、故障診斷、自動控制等領域中復雜優化問題的求解［11-13］。

基于遺傳算法的全局搜索能力，本文將遺傳算法應用于MEMS加速度計的快速標定，建立目標函數與遺傳算法適應度函數的關系，在全局范圍內搜索標定參數的最優解。隨機產生初始種群開始最優解迭代搜索，對種群中的個體進行適應度計算，以最大適應度為標準，更新最優適應度和最優染色體，通過選擇、交叉和變異等遺傳操作生成下一代種群，進行當前種群的個體適應度計算。如此循環迭代，直至滿足優化終止條件，獲得最優個體。算法流程如圖1所示。

2.1 初始種群與編碼

以標定參數作為種群中的個體，根據加速度計輸出模型反推出最優解的取值范圍，形成初始搜索區間。為避免連續函數離散化的映射誤差，減少編碼解碼的復雜運算，本文采用實數編碼代替傳統的二進制編碼方法，在搜索區間內隨機產生實數串數據生成初始種群，以該數據作為初始種群開始迭代［14］。

2.2 適應度計算

適應度函數又稱為評價函數，是根據目標函數確定的判別種群中個體優劣性的評價標準［15］。式（6）是加速度計測量輸出模值與當地重力加速度模值的誤差函數，通過適當變換可得遺傳算法的適應度函數為

式中：E（ij）（θ）為第i代種群中第j個個體對應的誤差函數值。適應度函數F（ij）（θ）為該誤差函數的倒數。最大適應度對應的個體作為當前種群的最優個體被保存下來，進入下一代種群繼續尋優。

2.3 選擇、交叉與變異

選擇、交叉與變異等遺傳操作能夠有效增加種群多樣性，避免算法陷入局部最優，提升全局搜索能力。選擇操作根據個體的適應度從上一代種群中擇優選擇個體復制到下一代種群，通過選擇過程，種群中的最優個體不斷更新，體現了優勝劣汰的進化原則。本文采用均勻排序的選擇方法，對種群中的個體適應度大小進行排序，分配各個個體被選擇的概率，使適應度高的個體具有更高的存活概率。

交叉操作是遺傳算法中的核心運算，通過模擬遺傳學的雜交原理，將種群中的2個個體隨機搭配，以交叉概率交換部分染色體形成新的個體，體現出信息交換的思想。變異操作將種群的每個個體以變異概率任意改變基因值，維持種群的多樣性，抑制算法過早收斂。在傳統遺傳算法中，通常采用固定的交叉概率（Pc=0.4～0.99）和變異概率（Pm=0.000 1～0.1），在復雜優化問題中存在收斂速度慢及早熟現象等問題。本文采用自適應交叉和變異概率代替固定概率［16-17］，根據個體適應度自動調整Pc和Pm以實現最優參數的選擇，保證算法較強的全局搜索能力和收斂性能。

式中：fmax為當前種群的最大適應度值；favg為當前種群的平均適應度值；f′為交叉個體中較大的適應度值；f為變異個體的適應度值；常值參數取為k1=k3=1，k2=k4=0.5。

3 最優標定編排設計

由模觀測原理可知，加速度計標定需通過觀測多位置下的測量輸出實現，測試位置的選擇通常根據標定參數的數量和特點來確定。針對多位置標定方法，不同的路徑編排導致加速度計的輸入激勵不同，合理的標定路徑要求充分激勵所有誤差參數，且需要保證標定結果的唯一性。將標定參數作為狀態變量，分析不同位置下加速度計測量輸出對狀態變量的可觀測度，確定出最優的靜態位置編排，保證標定路徑的合理性［18］。

由于加速度計在靜態位置下的測量輸出不隨時間變化而改變，則離散化時不變系統模型為

式中：X為狀態變量；Y為觀測輸出；A和H 分別為系統狀態矩陣和觀測矩陣。

線性時不變系統的可觀測性判別矩陣為

若滿足rank（Q）=n，則系統完全可觀測，否則系統存在不可觀測量。

針對加速度計的靜態誤差模型，由于模觀測標定方法無轉臺坐標系基準，安裝誤差矩陣只包含3項誤差參數，本文以Mxy、Mxz、Myz作為待標定的安裝誤差。選取9項標定參數為狀態變量：

系統的狀態變量為不隨時間變化的確定值，其狀態矩陣為

系統的觀測輸出能夠反映不同位置下的輸入激勵，維數與標定方案的位置數目有關，其觀測矩陣為

式中：I11，I21，…，IN1為3維單位陣；G12，G22，…，GN2為對應位置下重力加速度的輸入激勵矩陣。

根據奇異值分解理論，對系統可觀測性判別矩陣Q進行奇異值分解：

為了分析矩陣Q奇異值和狀態變量之間的關系，設正定對稱矩陣M=QTQ，其特征值和特征向量分別為λi和wi，則特征值和特征向量之間的關系為

由式（15）可知，矩陣M 的特征值越大，其特征向量對應狀態變量的可觀測度越高，通過多位置下的系統可觀測度分析，可得最大奇異值對應的位置對狀態變量具有最高的可觀測度，由此確定出最優位置編排。根據標定參數的數量和特點設計靜態位置編排方案，如圖2所示，多位置下可觀測性判別矩陣的秩和奇異值如表1所示。

圖2 靜態多位置標定編排方案Fig.2 Static multi-position calibration scheme

位置 秩 奇異值3 8 29.861 29.713 29.562 29.405 29.405 29.405 4.220 2.969 1.715×10-7 4 9 41.585 41.585 41.585 29.716 29.562 29.405 6 5.168 4.198 5 9 41.585 41.585 41.585 41.585 41.585 29.564 6.708 6.708 5.968 6 9 41.805 41.585 41.585 41.585 41.585 41.585 7.348 4 7.348 4 5.968 3 7 9 51.106 46.513 41.693 41.585 41.585 41.585 7.937 2 7.819 6 6.006 3 8 9 55.280 46.533 46.513 46.493 46.493 41.657 8.374 9 8.263 3 6.033 1 9 9 59.063 55.107 50.992 46.596 46.493 46.493 8.649 9 8.394 6 6.451 9 10 9 64.408 57.427 50.991 48.495 48.261 46.572 9.154 2 9.122 3 8.204 8 11 9 68.476 58.829 55.023 50.931 50.931 47.303 9.882 8 9.8328 9.463 6 12 9 72.041 65.751 58.810 51.012 50.931 50.931 10.392 10.392 9.881 7 13 9 72.041 67.576 58.813 58.810 52.764 50.951 10.816 10.765 10.605 14 9 72.041 68.973 62.385 62.377 55.011 55.011 11.178 11.149 11.132 15 9 72.041 68.973 65.779 62.394 62.394 62.377 11.458 11.456 11.439

由表1可知，當N≥4時，矩陣滿秩，系統完全可觀測；當N≥7時，各項奇異值明顯增大，這是由于與加速度計敏感軸成45°的位置使得系統可觀測度增強；當N≥12時，最大奇異值不再增大，且其他各項奇異值的增幅較小。綜合分析標定精度和標定復雜度等因素，本文選取12位置的靜態多位置標定方案。

4 實驗結果分析

本文以Xsens公司慣性導航系統MTi-1系列為測試對象，其結構如圖3所示。根據第3節所述標定路徑，在大理石平臺上對MTi-1進行位置翻轉實驗，每個位置靜止1 min，采集傳感器數據，再翻轉至下一位置。

完成數據采集后，采用本文方法對加速度計的標定參數進行最優化求解，遺傳算法的適應度函數變化曲線及加速度計誤差參數標定結果如圖4和圖5所示。

由圖4可知，最優適應度能夠準確跟蹤平均適應度的變化。進化初期保持較小的適應度，以提高種群的全局搜索能力；進化后期適應度增大，快速收斂至全局最優解。由圖5可知，通過自適應遺傳算法的迭代搜索，標定參數全部實現收斂。由此可見，自適應遺傳算法能夠較好地應用于MEMS加速度計的標定問題。

為了驗證本文方法的優越性，以傳統多位置法的標定結果作為標定真值，將本文方法與牛頓迭代法進行對比，2種方法的標定結果如表2和表3所示。

圖3 MTi-1系列慣性測量組合Fig.3 MTi-1 series inertial measurement unit

圖4 適應度函數變化曲線Fig.4 Curves of fitness function variation

由表2可知，在牛頓迭代法的標定結果中，三軸零偏的相對誤差分別為-0.146%、-0.554%、1.451%，三軸標度因數相對誤差分別為0.000 204%、0.010 4%、0.414%，未能有效標定安裝誤差；在本文方法的標定結果中，三軸零偏的相對誤差分別為-0.017%、0.019%、-0.051%，三軸標度因數相對誤差分別為 0.007%、0.004%、0.000 3%，三軸安裝誤差的相對誤差分別為10.69%、53.64%、21.37%，標定精度比牛頓迭代法提升1～3個數量級。由表3可知，本文方法的運算速度比牛頓迭代法提升61%。

誤差參數 傳統標定方法標定結果牛頓迭代法 本文方法標定結果 相對誤差/% 標定結果 相對誤差/%Bx/（m·s-2）0.116 46 0.116 29 -0.146 0.116 44 -0.017 By/（m·s-2） 0.036 1 0.035 9 -0.554 0.036 107 0.019 Bz/（m·s-2） 0.136 44 0.138 42 1.451 0.136 37 -0.051 Sxx 9.805 18 9.805 2 0.000 204 9.805 9 0.007 Syy 9.787 18 9.7882 0.0104 9.7876 0.004 Szz 9.771 07 9.811 5 0.414 9.771 1 0.000 3 Mxy-0.005 8 0.276 8×-0.006 42 10.69 Mxz 0.005 22 0.4051×0.002 42-53.64 Myx 0.006 07 —— —— —— ——Myz 0.003 93-0.768 9×0.003 09-21.37 Mzx -0.003 6 —— —— —— ——Mzy -0.0062—— —— —— ——

方法 運算時間/s本文方法164.28牛頓迭代法421.92

在靜態條件下，將傳統標定方法、牛頓迭代法與本文方法分別應用于MTi-1慣性導航系統，開展純慣性導航驗證實驗，不同方法下的水平姿態角誤差曲線及誤差均值如圖6和表4所示。

由圖6和表4可知，本文方法標定后的俯仰角誤差約為0.062°，相較于牛頓迭代法減小74%，與傳統標定方法精度相當；本文方法標定后的橫滾角誤差約為-0.051°，精度優于牛頓迭代法和傳統標定方法。

方法 俯仰角誤差/（°） 橫滾角誤差/（°）0.015 0.109牛頓迭代法 0.24 -0.191本文方法傳統標定方法0.062 -0.051

結合不同方法的標定結果與導航實驗結果，可以得出本文方法的優勢如下：

1）能夠準確標定出MEMS加速度計的全部誤差參數，與牛頓迭代法相比，標定精度提升1～3個數量級，運算速度提升61%，本文方法可有效應用于MEMS加速度計的快速標定。

2）標定后解算的水平姿態角誤差小于0.1°，能達到與傳統標定方法相同量級的精度，驗證了本文方法在實際導航中的應用價值。

5 結 論

1）本文針對傳統標定方法標定時間長、標定精度依賴轉臺精度等問題，提出了一種基于自適應遺傳算法的MEMS加速度計快速標定方法，實現對全部誤差參數的快速準確標定。根據模觀測原理，將標定問題轉化為非線性方程組的優化求解問題；以系統可觀測性分析為依據，設計最優標定路徑。采用自適應交叉和變異概率，提升遺傳算法的全局搜索和收斂性能。

2）實際測試結果表明，與牛頓迭代法相比，本文方法具有標定精度高、標定速度快等優點，標定后能達到與傳統標定方法相同量級的姿態精度，驗證了本文方法的優越性和有效性。

3）本文方法縮短標定時間，降低標定成本，具有重要的理論研究和工程應用價值。同時，由于遺傳算法的參數選取直接影響標定精度及運算速度，如何通過適應度函數的動態變化及對選擇、交叉、變異算子的改進以提升遺傳算法的尋優精度和收斂速度是未來工作中值得進一步研究的問題。