基于順序統(tǒng)計量的加速度計恒加壽命試驗優(yōu)化設計

趙曉東，穆希輝

（1.陸軍工程大學 石家莊校區(qū)，石家莊 050003；2.特種勤務研究所 石家莊營區(qū)，石家莊 050003）

某型遠程制導火箭彈作為我軍遠程精確打擊的重要力量，具有長期貯存、一次使用的特點，加速度計作為其長期貯存中的薄弱環(huán)節(jié)[1]，準確評估加速度計的貯存壽命是關乎該遠程制導火箭彈制導精度和作戰(zhàn)效能發(fā)揮的重大問題。加速度計是長壽命、高可靠性產品，要在較短時間內評估其貯存壽命，必須開展加速度計的加速壽命試驗和分析[2]。

與步進和序進壽命試驗相比，恒加壽命試驗應用最為廣泛，試驗與評估技術也最為成熟，具有方法簡單和結果準確的優(yōu)點，但其存在著樣本量大和試驗時間長的問題。為改進恒加壽命試驗，有些研究者對恒加壽命試驗的優(yōu)化設計問題進行了研究。陳文華[2]對雙應力的恒加壽命試驗的優(yōu)化設計問題進行了研究；沙美妤[3]采用極大似然估計法對球軸承的恒加壽命試驗進行了優(yōu)化設計；Duan[4]通過伽馬過程對單應力的恒加退化試驗方案進行了優(yōu)化設計；Wang[5]使用M 最優(yōu)法則對恒加試驗方案進行優(yōu)化設計；Gao[6]將多應力轉化為單應力，對恒加壽命試驗優(yōu)化設計問題進行了探討。但上述優(yōu)化設計都是在模型參數先驗信息已知的情況下，對恒加壽命試驗方案進行的優(yōu)化設計，同時，其多以產品正常使用應力水平下的一個P 分位壽命的漸近方差最小為優(yōu)化目標，具有一定的局限性[7]。

針對上述問題，本文基于順序統(tǒng)計量和整體線性無偏估計理論，以每個應力水平下的樣本分配為設計變量，同時以加速度計在正常應力水平下中位壽命估計值的方差最小和模型參數的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標，建立加速度計定數截尾恒加壽命試驗優(yōu)化設計的數學模型，對加速度計的恒加壽命試驗方案進行了優(yōu)化設計。

1 加速壽命方案

1.1 加速度計預實驗

在加速度計加速貯存試驗設計之前，需開展加速預試驗作為加速貯存摸底試驗，得到的試驗信息主要包括以下三點：

1）確定加速度計的可加速性；

2）確定加速度計加速退化應力水平上界；

3）確定加速度計性能參數是否存在退化規(guī)律。

依據該型加速度計的貯存規(guī)范（溫度小于30℃，濕度小于70%RH）推斷其在貯存過程中敏感應力主要包括溫度和濕度，因此選擇溫度、濕度為加速試驗的應力類型。

預試驗共開啟2 個溫濕度試驗箱進行試驗，一個為溫度單應力試驗，一個為恒濕（75%RH）溫度雙應力步進應力試驗。試驗過程中的試驗箱運用說明如下：

A 試驗箱進行高溫步進應力加速試驗，溫度應力依次為：S1=70℃，S2=85℃，S3=95℃，S4=105℃，S5= 110℃；

B 試驗箱進行恒濕（75%RH）溫度步進應力加速試驗，溫度應力依次為：S1=70℃，S2=85℃，S3=95℃，S4=105℃，S5=110℃。

當B 試驗箱溫度應力高于95℃時無法施加濕度條件，直接將B 試驗箱中的樣本拿到A 試驗箱，一并進行S4=105℃，S5=110℃試驗。

用5 個同批次的加速計新品作為試驗樣品，進行35 天不間斷試驗。另根據人機功效最大化原則，在溫度應力S1、S2、S3、S4下各試驗、測試7 天，如果還有樣品沒有失效，則繼續(xù)放在S5下進行試驗。每一應力水平下試驗時間包括應力持續(xù)時間、加速度計檢測時間以及升溫降溫時間。

通過專用的檢測設備，采用定周期檢測方法進行加速度計失效時間的測量，每周檢測3 次，分別在每周的第2 天、第5 天和第7 天（即改變應力水平時）開始檢測程序：進行檢測時，需將加速度計恢復在正常應力水平S0（室溫25℃）下進行檢測，以保證測試條件的一致性。

試驗的終止條件如下：1）加速度計發(fā)生不可修復故障；2）加速度計出現故障，如果確認該故障在其使用過程中不可能出現，或者出現故障的應力水平遠高于其技術規(guī)范極限且確保已有足夠的安全余量，則可終止試驗；3）試驗溫度長時間（大于15 天）穩(wěn)定在110℃而無失效樣本產生，可終止試驗。

按照上述試驗方案，進行加速度計的預實驗，其失效分布如圖1所示。

加速計的具體失效情況如表1所示。

圖1 加速度計預試驗失效分布圖 Fig.1 Distribution of accelerometer pre-test failures

表1 加速度計預試驗失效情況表 Tab.1 Failures in accelerometer pre-test

從圖1和表1中可以看出，4 次失效分別發(fā)生在85℃（1 個）、95℃（1 個）以及110℃（2 個）下，對失效的樣本進行了失效分析。結果顯示，預試驗中1 號和4 號樣品輸出異常，3 號和5 號樣品超差。分析結果同自然貯存中加速度計的故障形式一致，說明加速度計具有顯著的可加速性。

對發(fā)生故障的4 臺加速度計進行故障分析，確定4 臺加速度計發(fā)生故障的部位均為敏感頭，其中輸出異常是由于敏感頭擺片組梁斷和腹帶松動造成，超差均是由于敏感頭腹帶松動造成，所以加速度計雖然兩種失效模式不同，但其失效原因基本一致，故后續(xù)的數據分析都基于一種失效模式展開。另外，加濕環(huán)境中加速度計的失效模式與不加濕環(huán)境中加速度計的失效模式相同，且加濕環(huán)境中加速度計的失效均發(fā)生在110℃的高溫下，此時濕度已經無法保證，因此，濕度應力并不是加速度計失效的關鍵應力。

1.2 加速壽命模型

根據加速度計預試驗的結果，以及其自然貯存數據的分析結果[1]發(fā)現，濕度對于加速度計壽命的影響從數據規(guī)律上難以體現，無法定量刻畫。所以，試驗應力僅采用溫度應力作為加速應力。

由于確定溫度應力為加速應力，因此選擇Arrhenius 模型作為加速模型。Arrhenius 模型表明壽命特征隨著溫度上升而按指數下降，對模型取對數可得：

其中，ξ表示產品的特征壽命，T為溫度應力，a和b為待定的參數，ε為測量誤差，壽命特征的對數是溫度倒數的線性函數。

1.3 加速系數預估

依據加速度計的自然貯存壽命[1]分析結果，威布爾函數和I 型極大值分布函數可以作為加速度計的分布函數。經分析[8]，根據加速系數的定義，I 型極大值分布沒有可加速性，故選擇威布爾函數作為分布函數。在求得分布函數之后，根據加速度計在不同溫度條件下的平均貯存壽命及可靠壽命，可以對加速系數進行估計。

設步進應力加速壽命試驗共有k個應力，其中S0為常規(guī)應力水平。在應力Si下共有ri個產品失效，失效時間分別為：

其中，τi為Si下的截尾時間（即應力水平改變的時刻），

各應力水平下加速度計貯存壽命的分布函數為：

其中，mi和η i分別為應力Si下的形狀參數和尺度參數，并作出以下基本假設：

假設I各應力水平Si下的形狀參數mi相等；

假設II產品的特征壽命η i與所施加應力Si，滿足Arrhenius 加速方程：

假設III產品剩余壽命僅依賴于失效累積量和當時的應力水平，而與累積方式無關。

由假定I 分布的形狀參數mi相等，則應力Si下第j個失效樣本的失效時間折算到給定應力Sq下的失效時間為：

到達試驗截尾時間τk仍未失效的樣本折算到給定應力水平Sq下的時間為：

其中，T q、Ti是應力水平S q、Si下的熱力學溫度，b是加速模型中確定的參數。

根據以上分析，可得似然函數如下：

通過解如下方程組：

結合加速度計的預試驗失效數據，將加速度計失效時間折算到90℃，可以得到模型未知參數極大似然估計值如下：

據此，可得加速模型如下：

常溫為25℃，如果加速壽命試驗的溫度應力分別選80℃、95℃、110℃、130℃，不難得到產品壽命均值的加速系數如下：

1.4 恒加試驗方案

1.4.1 溫度應力水平的確定

在恒加應力試驗中，一般選擇3～5 個應力水平進行試驗[3]。本試驗方案由于受到試驗樣本量較少，同時，由加速模型可以看出，模型的待估參數有3 個（阿倫尼烏斯模型中的參數a和b，威布爾分布中的形狀參數m），所以試驗數據的最小可解條件為3 個加速應力水平。因此，加速度計的加速壽命試驗選擇三個應力水平（S1＜S2＜S3）。

根據加速度計預試驗結果和加速系數的預估結果，選擇S1=80℃，S3=110℃，并根據溫度應力倒數等間隔取值公式，確定S2。即：

1.4.2 試驗樣品的選取與分組

選取8 個同批次的新品加速度計，分配到已經確定的三個應力水平，具體的樣本分配可以由試驗的優(yōu)化設計確定。

1.4.3 測定失效時間

根據加速度計的技術規(guī)范確定的失效標準，判斷受試樣品是否失效，并采用定周期測試方法，即預先確定若干個測試時間，

當ni個樣品在應力Si下進行壽命試驗到τi時，對受試驗品逐個檢查受試指標，判定是否失效，這樣可以得到在檢測周期 (τi-1,τi)內樣品失效數li，而這li個失效產品的準確失效時間是無法獲得的，這種情況稱為定周期測試。用等間隔方式估計此li個失效樣品在(τi-1,τi)內的失效時間，即?。?/p>

其中，τi、τi-1是檢測時間，l i為檢測周期內的失效數，h是時間（小時）。

檢測時間由試驗操作人員確定，在高應力水平下，試驗的檢測間隔應該較為致密，在低應力水平下，檢測時間間隔可以相對疏松。

1.4.4 試驗停止時間

由于試驗樣本只有8 個，總量較小，因此被測樣本全部出現故障試驗停止。

2 優(yōu)化設計理論

與傳統(tǒng)的極大似然估計法相比，基于順序統(tǒng)計量的方法具有如下優(yōu)點：

1）順序統(tǒng)計量的部分性質不依賴于母體的分布并且計算量很小，使用起來比較方便，而且由于產品故障或壽命數據的時間性特點，在可靠性數據分析中，順序統(tǒng)計量是一種非常重要的統(tǒng)計量；

2）將順序統(tǒng)計量引入加速壽命試驗優(yōu)化設計中，運用整體最佳線性無偏估計理論，解決了模型參數先驗信息未知情形下的優(yōu)化設計問題；

3）對于樣本量較小的壽命試驗數據，綜合利用不同應力間的橫向信息，從而提高評估的精度。

2.1 模型假設

1）加速度計壽命在統(tǒng)計上相互獨立[9-10]；

2）在任一應力水平下，加速度計壽命服從威布爾分布；

3）在各應力水平下，產品壽命分布的參數σ保持不變；

4）壽命分布的參數μ是應力的線性函數，即

其中，x= 1/T，模型參數a、b、σ由試驗數據估計得到。

2.2 順序統(tǒng)計量

設總體的密度函數為f(t)，分布函數為F(t)，T1,是總體的一個樣本，其值為將其從小到大排列，則稱為順序統(tǒng)計量，T(n)稱為該樣本的最大順序統(tǒng)計量，T(1)為最小順序統(tǒng)計量。

2.3 最佳線性無偏估計

最常使用的極大似然估計方法只有在大樣本情況下才具有良好的性質，整體最佳線性無偏估計方法綜合利用不同應力間的橫向信息，可以提高參數的估計精度。

加速度計壽命t服從威布爾分布，累計失效函數為：

其中，η為特征壽命，m為形狀參數。

令y= lnt，則轉化為I 型極小值分布，其累積失效函數為：

其中，位置參數μ= lnη，尺度參數σ= 1/m。

密度函數為

令y= lnt，極小值分布的前qj個順序統(tǒng)計量分別

由于

所以

其中，εji服從均值0，標準差為σ的極小值分布為

分別對a、b、σ求偏導，得到以下三個線性方程：

求解線性方程組即可得到a、b、σ的估計值

3 試驗方案的優(yōu)化設計

3.1 優(yōu)化準則和目標

根據對試驗結果的不同要求，加速壽命試驗的優(yōu)化設計主要有兩類優(yōu)化準則，即D 最優(yōu)準則和V 最優(yōu)準則。根據不同的優(yōu)化準則，可以得到不同的優(yōu)化計算結果。本文同時采用兩種優(yōu)化準則，避免單一優(yōu)化準則的局限性，并通過兩種優(yōu)化準則的對比分析，驗證試驗方案優(yōu)化設計的準確性。

3.1.1 D 最優(yōu)準則

考慮模型參數估計精度的要求，一般以最小化模型參數的協(xié)方差陣的行列式為目標函數進行優(yōu)化。協(xié)方差陣的行列式越小，參數估計精度就越高，即D 最優(yōu)準則優(yōu)準則下試驗方案的最優(yōu)解。

基于整體最佳線性無偏估計理論，模型參數的協(xié)方差陣為：

其中，

根據前面分析加速度計實際壽命服從威布爾分布，可以轉化為I 型極小值分布，則μjk是第個j應力水平下，標準I 型極小值分布的第k個順序統(tǒng)計量的均值，vjkl是第j個應力水平下，標準I 型極小值分布的第k個和第l個順序統(tǒng)計量的協(xié)方差。

通過上述公式可以看出：最小化協(xié)方差陣的行列式可以等價為最小化矩陣CM的行列式，通過最小化CM行列式可以求得在D 最優(yōu)準則下試驗方案的最優(yōu)解。

3.1.2 V 最優(yōu)準則

考慮對產品壽命預測的精度要求，一般選取正常使用應力水平下的一個P 分位壽命的漸近方差為目標函數進行優(yōu)化，即V 最優(yōu)準則。最小化分位點壽命估計值的漸近方差，可求得V 最優(yōu)準則下試驗方案的最優(yōu)解。

威布爾分布可以用線性—極值/正態(tài)模型來進行方差估計。對線性—極值/正態(tài)模型來講，在轉化應力x下，產品分位點壽命g P(x) 是參數γ0、γ1、σ的函數，zp是標準極值分布的P階分位數，其估計值為：

漸進方差為：

那么，在正常工作應力x0下，P分位壽命的漸進方差為：

3.2 試驗約束條件

3.3 試驗設計變量

優(yōu)化設計變量為每個應力水平下分配的樣本數。

在試驗樣本量的分配中，分配準則為：低應力下分配的樣本數不應少于高應力下分配的樣本數；同時，由于加速度計可靠性較高，試驗時間不能過長。因此，對于恒加試驗而言，需要綜合考慮試驗效率和試驗精度對于試驗的影響。

3.4 優(yōu)化流程

1）開展加速度計的預實驗，處理失效數據，確定加速度計的壽命分布模型；

2）確定加速度計恒加壽命試驗的溫度應力水平和試驗樣本總量；

3）按照樣本分配原則，列出樣本在不同溫度應力水平下的所有分配方案；

4）利用不同溫度應力水平下樣本失效時間的順序統(tǒng)計量，通過最佳線性無偏估計，估計不同分配方案下加速計的壽命分布模型參數；

5）求解模型參數協(xié)方差陣的行列式，找出其最小值所對應的樣本分配方案；

6）求解0.5 分位點壽命的漸進方差，找出其最小值所對應的樣本分配方案；

7）對比兩類優(yōu)化準則的求解結果，確定加速度計最終的加速壽命優(yōu)化設計方案。

4 優(yōu)化設計結果

對于可能進行的試驗方案（8 個試驗樣品分配到三個應力水平下），分別計算得到V 最優(yōu)和D 最優(yōu)的求解結果，并以（8|5,2,1）為例說明計算過程。

4.1 最佳線性無偏估計

設在95℃、110℃、130℃下分別有5、2、1 個樣本進行定數截尾試驗，完全失效的失效時間分別為t11≤t12≤t13≤t14≤t15、t21≤t22、t31。

以應力水平S1(T1=95℃)情況下為例：

令y= lnt，極小值分布的5 個順序統(tǒng)計量為y11≤y12≤y13≤y14≤y15。

由于y1i=μ+σy10i,(i= 1,2,3,4,5)，所以：

其中，ε1i服從均值0，標準差為σ的極小值分布EV( 0,σ) ,(i= 1,2,3,4,5)，在應力水平S2(T2=110℃)、S3(T3=130℃)下與以上內容相似。

分別對a、b、σ求偏導，得到以下三個線性方程：

求解線性方程組即可得a、b、σ的估計值a?、b?、σ? 。

4.2 優(yōu)化準則和目標求解

4.2.1 D 最優(yōu)準則

模型參數的協(xié)方差陣為：

其中，

例如：

其中，

4.2.2 V 最優(yōu)準則

取0.5 分位點壽命，常溫為25℃，即298K，h=(1 ,1/298,0)，那么，漸進方差為：

4.3 結 果

依照上述計算過程，分別計算得到各試驗方案下V最優(yōu)和D 最優(yōu)的求解結果，如表2所示，其中：(n|n1,n2,n3)分別代表樣本總數、應力水平S1下的樣本數、應力水平S2下的樣本數、應力水平S3下的樣本數；σ= 1m，m是威布爾分布中的形狀參數。

表2 優(yōu)化計算結果 Tab.2 Optimized design results

在表2中，V 最優(yōu)一列計算的是加速度計均值的漸近方差的估計值，根據V 最優(yōu)準則，漸近方差越小，則表示試驗的估計精度越高。D 最優(yōu)一列計算的是矩陣CM的行列式的值，根據D 最優(yōu)準則，行列式的值越小，試驗的估計精度越高。由以上的計算結果對比分析可知，V 最優(yōu)和D 最優(yōu)這兩種優(yōu)化方法的求解結果一致，驗證了加速度計恒加試驗方案優(yōu)化設計的準確性，確定加速度計的試驗方案為（8|4,2,2），即在應力水平S1、S2、S3下分配的樣本量分別為4、2、2。

5 結 論

1）將順序統(tǒng)計量引入加速壽命試驗優(yōu)化設計中，運用整體最佳線性無偏估計理論，解決了模型參數先驗信息未知情形下的優(yōu)化設計問題。

2）與常用的極大似然估計法相比，基于順序統(tǒng)計量和整體最佳線性無偏估計理論的參數估計方法，能夠綜合利用不同應力間的橫向信息，提高參數的估計精度，在小樣本情況下也具有良好的性質。

3）同時以加速度計在正常應力水平下中位壽命估計值的方差最小和模型參數的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標，兼顧了模型參數估計精度和加速度計壽命預測精度，避免了單一優(yōu)化目標的局限性。

4）根據順序統(tǒng)計量和整體線性無偏估計理論，以每個應力水平下的樣本分配為設計變量，同時以加速度計在正常應力水平下中位壽命估計值的方差最小和模型參數的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標，建立加速度計定數截尾恒加壽命試驗優(yōu)化設計的數學模型。最后計算結果表明，兩種優(yōu)化目標的求解結果一致，確定加速度計的試驗方案為（8|4,2,2），即在應力水平S1、S2、S3下分配的樣本量分別為4、2、2，驗證了該方法的可靠性。