圓周角定理及其推論中一類典型問題的延伸

王海燕

摘要：通過在圓周角定理及其推論中一類簡單例題的教學中運用一題多變、一法多用和一題多解的延伸式推理教學方法，有效地培養了學生思維的廣闊性和創新意識，啟發了學生學習的興趣。

關鍵詞：圓周角定理;典型例題;一題多解;延伸式教學

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2019）18-067-2

數學知識形成的思維過程，主要體現在問題提出的思維過程和問題解決的思維過程上，教師在教學中充分突出公式、定理的探索過程，讓學生有機會思考，直接去感受問題，從而激發學生主動探索、獨立揭疑的欲望，使學生能自覺、執著地應用自己已有的基礎知識和數學思想，對信息進行分析、歸納、整理，得到解決問題的規律和方法，獲得知識，有新的見解，也達到培養學生創新思維的目的。

例1，如圖1，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑，求證：AB·AC=AD·AE.

此題是在講完圓周角定理及其推論后的一則典型例題，這道例題的結論為AB·AC=AD·AE。從結論分析來看，這是等積式，若要證明，則須有成比例線段，結合圖形分析來看，可以找三角形相似得對應邊成比例，問題在于找哪兩個三角形相似。如果找△ABD，在△ABD中包含了兩條線段AB，AD，則應該連結EC，找到另一個△AEC，證△ABD與△AEC相似;如果找△ADC，在△ADC中包含了兩條線段AC，AD，則應該連結BE，找到另一個△ABE，證△ADC與△ABE相似。

證明：連結BE，因為AE是直徑，所以∠ABE=90°.又因為∠ADC=90°，所以∠ABE=∠ADC.又因為∠E=∠C，所以△ABE∽△ADC，得ABAD=AEAC，故AB·AC=AD·AE.

此例題的證明實際證得一個定理.

定理1：三角形任意一邊上的高與其外接圓直徑的積，等于另兩邊的積。

單純證明這道題比較容易，因為從結論出發進行分析時目標比較明確，只要找到對應的三角形即可，若離開這個結論，就不知道該從哪個方面去分析，此定理的延伸與應用在中考與數學競賽時經常選用，但課本上并未直接給出定理，所以學生在做與本定理相關的題時不易聯想到定理與基本圖形，給解題帶來困難。

例2，如圖1，△ABC內接于⊙O，AD是△ABC的高，AB=b，△ABC的外接圓直徑為d，則AD=（ ）。

由已知分析，AB，AC，d與AD的關系很少見，特別是不知道存在何種關系的條件下，該如何分析令學生很頭痛，若不記定理或基本圖形，直徑在圖中如何放置都成問題，則不容易完成填空。若將上述內容以定理或延伸的形式展現給學生，使學生對其理解透徹，抓住特征，再遇到類似這種題目時，可以在較短的時間內分析出這道題所應該使用的方法。由AB·AC=AD·d得AD=AB·ACd，可直接完成填空。

例3，如圖2，已知△ABC內接于⊙O，AD是BC邊上的高，求證：∠BAO=∠DAC。

學生按照思維定勢，習慣于連結BO，此時并不存在△ABO與△ADC的相似或全等，使證明無法進行下去。要找到∠BAO=∠DAC，首先看哪些條件與這兩個角有關系，從∠DAC出發，這個角在Rt△ADC中是銳角，與∠C互余，那么就看∠BAO是否也在直角三角形中。∠BAO與半徑有關系，若延長AO與圓交于點E，可得到直徑，由AE為直徑，可得到直徑所對的圓周角為直角，連結BE，則∠ABE=90°，此時∠BAO在Rt△ABE中，與∠E互余，由同弧所對的圓周角相等，在圖2中可看到∠C=∠E，證△ADC與△ABE相似或利用三角形內角和定理即可得到結論。

例4，如圖2，AD是△ABC的高，AE是其外接圓的直徑，△ABC的面積為S，求證：S=AB·AC·BC2AE.

從結論來看，△ABC的面積為S=12BC·AD，將這一條件與結論放到一起進行分析，12BC·AD=AB·AC·BC2AE可得AD=AB·ACAE，再變形，得AD·AE=AB·AC.此時，要證明的條件與上述定理完全一致，如果記得這個定理，接下來就不需要進一步分析，可直接得到結論，否則，需要按照以上證明的過程繼續分析下去。

例5，如圖3，AE是△ABC外接圓的直徑，弦AF⊥BC于D，∠BAC的平分線AG交⊙O于H，求證：AD·AE=AG·AH.

此題圖3中線段較多，若不考慮定理與基本圖形，極難理出頭緒。所證等積線段在圖中并未分布在兩個三角形中。所以由證明三角形相似而直接得結論的思路行不通，所以應該考慮通過中間比過渡，因所證結論為AD·AE=AG·AH，

但由定理知AD·AE=AB·AC，要證結論成立，只要證明AB·AC=AG·AH就可得出結論。由圖3不難發現在所涉及的4條線段分布于△AHB與△ACG中，而由已知條件并不難證明這兩個三角形相似。

思維的廣闊性是指思路寬廣，善于多角度，多層次地進行探索.根據學生的思維發展，設計一些思維層次相似或遞進的不同圖形，通過一題多解、一法多用的變式教學，使學生掌握的不僅是一個問題的解決方法，而是一類問題的解決方法。定理1可與函數問題相聯系，從復雜的問題中分析出一些特殊條件，使問題變得簡單易解。

例6，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD=3，設⊙O的半徑為y，AB=x，求：（1）y與x之間的函數關系;（2）當AB的長為多少時，面積最大？并求出⊙O的最大面積。

分析：在（1）中要找到函數關系，就要找到AB，y與其它線段的關系。一般來說，找三角形相似得到成比例線段，在圖中有兩個直角三角形，若過點A作⊙O的直徑，既可得到直角三角形，又可與y聯系起來，得到2y·AD=AB·AC.

解：（1）因為AB+AC=12，AB=x，所以AC=12-x.由定理1得2y·AD=AB·AC，即2y·3=x（12-x），所以y=-16x2+2x（0

（2）將上式變形，即y=-16x2=-16x2=-16（x-6）2+6

則當AB=6時，⊙O的半徑y最大，y最大=6.當y=6時，⊙O的面積最大，⊙O的最大面積為π·62=36π.