二維隨機載荷作用下汽車螺旋彈簧疲勞損傷研究

藤瑞品 宋曉琳 劉國云 曾俊偉

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南獵豹汽車股份有限公司，長沙，410100

0 引言

在完整的耐久試驗目標里程中截取部分樣本，實車狀態(tài)下采集載荷譜數據，對采集的數據進行外推后，用于整車疲勞耐久分析和計算，是試驗場關聯(lián)汽車疲勞耐久設計普遍使用的方法。

載荷譜數據外推分為線性外推和概率外推兩種。在實際的試驗過程中，由于路面、車速以及駕駛員的操作都具有一定的隨機性，因此得到的相應的載荷譜數據也具有隨機性。對采集樣本采用線性外推得到的載荷譜數據不能覆蓋完整的試驗過程，應采用概率外推的方法。載荷譜數據包含載荷幅值和載荷均值兩個參數，載荷譜的概率外推應基于載荷幅值和均值都為隨機變量的二維隨機載荷進行。

陳欣等[1]對汽車傳動系統(tǒng)的載荷譜進行了研究，基于幅值和頻次的關系建立了八級程序載荷譜；高云凱等[2]通過將二維程序載荷譜簡化為一維程序載荷譜，建立了車身疲勞試驗程序載荷譜；高孝旺[3]在載荷幅值為威布爾分布的基礎上分析了三參數威布爾分布的三個參數對等效載荷、載荷比例系數的影響趨勢，以及載荷波動程度即變異系數對載荷比例系數的影響趨勢,對同均值條件下正態(tài)分布與三參數威布爾分布的等效載荷進行了對比；胡建軍等[4]基于載荷幅值為正態(tài)分布的情況,研究了載荷比例系數和變差系數之間的關系，并以隨機載荷為輸入對齒輪的疲勞壽命進行了試驗研究；武瀅等[5]基于載荷幅值和均值都為隨機分布的情況，以其聯(lián)合概率密度為基礎建立了疲勞壽命的分布預測模型；郭虎等[6]通過對汽車前橋載荷進行采集，得到了包含幅值和均值的載荷譜，并對采用Goodman經驗公式進行等效轉換后的等效載荷進行統(tǒng)計學分析，得出了在各種路面下等效載荷的分布符合三參數威布爾分布的結論，并給出了分布參數；藤瑞品等[7]對二維隨機載荷作用下的疲勞壽命進行了研究，給出了載荷幅值和均值均符合正態(tài)分布的二維隨機載荷的當量載荷的概率密度函數。

目前基于隨機載荷譜的疲勞耐久研究大多局限于分布規(guī)律的研究和基于幅值為隨機變量的一維隨機載荷譜外推的疲勞耐久性研究，二維隨機載荷的外推研究以及基于二維隨機載荷外推的疲勞耐久性研究尚未有成熟的方法。本文即是針對當前研究存在的不足，提出了二維隨機載荷譜的外推方法，建立了二維隨機載荷的當量載荷的概率密度函數的求解模型，研究了某款城市SUV螺旋彈簧載荷譜的分布特性，采用載荷譜分級法計算了疲勞損傷，并指出了分級數量對疲勞損傷的影響。

1 二維隨機載荷譜的外推方法

1.1 基于Goodman公式的概率密度函數外推

已知二維隨機載荷的幅值和均值的分布概率，根據當量載荷的計算法則和概率密度理論，計算出當量載荷的概率密度函數，在此基礎上將二維隨機載荷進行外推后的載荷譜作為疲勞壽命的計算載荷。

假設零件受到幅值為Sa、均值為Sm的循環(huán)載荷作用，可以把(Sa，Sm)用經驗公式轉化為零均值當量載荷，根據Goodman公式，當量載荷Seq的表達式[8]為

(1)

式中,σb為材料的抗拉強度。

(2)

目前在工程實際中，Miner累積疲勞損傷定則廣泛應用于結構件在變幅載荷作用下疲勞壽命的預測[10-12]，在確定二維隨機載荷的概率密度函數以后，根據Miner定則，累積疲勞損傷的計算方法如下：

(3)

式中，D為材料的累積疲勞損傷；N為材料受到的循環(huán)載荷總次數；S為材料受到的載荷；f(S)為隨機載荷的概率密度函數；Nf為材料在載荷S作用下的疲勞壽命。

采用概率密度函數外推法只需要進行積分運算，計算過程比較簡單也比較容易得到精確的計算結果，但是采用該方法必須要首先得到二維隨機載荷的當量載荷的概率密度函數和材料的S-N曲線方程。

1.2 載荷譜分級法

在很多情況下，當量載荷的概率密度函數過于復雜而無法根據概率密度的算法進行計算，這時可采用載荷譜分級法對二維隨機載荷進行外推。 載荷譜分級法外推過程如下：

(1)根據載荷幅值和均值的雨流計數數據進行統(tǒng)計學分析，得出載荷幅值和均值的分布特性及分布參數；

(2)對載荷譜的幅值和均值進行分級，將連續(xù)的載荷譜分成有限個載荷區(qū)間；

(3)根據載荷幅值和均值的統(tǒng)計分布特性外推出各級載荷幅值和均值的分布概率頻次；

(4)根據式(1)和載荷幅值以及載荷均值的分布概率頻次，推算出各級載荷的當量載荷的分布概率和統(tǒng)計頻次。

1.3 當量載荷外推法

當量載荷外推法[6]也是一種概率密度函數外推法，不同的是該方法首先將包含載荷幅值和載荷均值的二維隨機載荷通過Goodman公式轉化為零均值的當量載荷以后，再以當量載荷作為隨機載荷進行分布檢驗和參數估計，擬合出當量載荷的概率密度函數和分布參數后，根據式(3)計算疲勞損傷。

2 二維隨機載荷的當量載荷的概率密度函數

2.1 幅值和均值均服從正態(tài)分布時

Seq為二維隨機載荷的當量載荷[7]，設Z=Seq,fZ(z)為當量載荷Seq的概率密度函數。

(4)

2.2 幅值服從威布爾分布、均值服從正態(tài)分布時

幅值服從威布爾分布、均值服從正態(tài)分布的隨機載荷的當量載荷的概率密度函數的推導比幅值和均值都服從正態(tài)分布的隨機載荷的概率密度函數的推導復雜甚至不能推導，以下僅對形狀參數α=1、位置參數λ=0時的情況進行推導。

載荷幅值Sa符合威布爾分布，概率密度函數為

(5)

式中，α為形狀參數，反映載荷譜的分布形狀；β為尺度參數，反映載荷譜總體水平；λ為位置參數，反映載荷譜的最小值。

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1為部分分布參數下的函數圖。

圖1 當量載荷概率密度函數圖Fig.1 Plot of the probability density functio n of equivalent stress

3 S-N曲線的擬合

由于得到真實的S-N曲線需要大量的試驗數據，而得到這些試驗數據需要大量的時間和成本，因此很多時候在工程實踐中并沒有真實的S-N曲線可用。根據已有的試驗數據和素材，對材料的S-N曲線進行估算和擬合，以代替材料的真實S-N曲線，可以作為工程實踐中進行疲勞耐久設計的一種近似手段。

S-N曲線的擬合方法主要有三參數擬合法和分段擬合法兩種。

3.1 三參數擬合法

根據對金屬材料疲勞性能曲線的研究[8]，對于整個中長壽命區(qū)，疲勞壽命和載荷之間的關系建議采用以下三參數經驗公式:

Nf(S-S0)n=m

(10)

式中，S0、m、n均為待定常數。

文獻[13]提出的應力疲勞壽命公式為

Nf=Cf(Seq-(Seq)c)-2

(11)

式中，Cf、(Seq)c分別為疲勞抗力系數和用等效應力幅表示的理論疲勞極限，它們均為材料常數。

文獻[14]以16Mn鋼和15MnVN鋼為對象進行了研究，測定了16Mn鋼和15MnVN鋼的拉伸性能，并用φ10 mm的光滑試件測定了疲勞壽命并進行了回歸分析，分析結果顯示采用式(10)來擬合低合金高強度鋼擬合度R=-1時的疲勞試驗結果是有效的[14]。

3.2 分段擬合法

分段擬合法[15-16]是在雙對數坐標上，將S-N曲線在高周疲勞區(qū)和低周疲勞區(qū)分別以直線段來進行擬合的方法，見圖2，圖中橫坐標的1、103、106點對應的載荷代表材料分別在標準循環(huán)加載1、103、106次的疲勞強度，106次定義為材料的疲勞極限。

圖2 S-N曲線分段擬合Fig.2 Subsection fitting of S-N curve

圖2中高周疲勞段的斜率g計算公式如下：

(12)

式中，S1 000和Sbe分別為材料在標準循環(huán)加載103、106次時的疲勞強度。

低周疲勞段的斜率h計算公式如下：

(13)

式中，Sf為材料的抗拉強度。

4 載荷譜數據采集和處理

4.1 載荷譜數據的采集

基于試驗場關聯(lián)的整車結構疲勞載荷譜的采集和分析技術，采用4個車輪六分力傳感器、10個加速度傳感器和38個應變片傳感器，在襄陽試驗場采集了某款城市SUV整車主要結構載荷譜。采集地點及道路類型如表1所示。試驗車輛參數如表2所示。

表1 采集地點及道路類型

表2 試驗車輛主要技術參數

4.2 載荷譜數據的處理

對原始載荷譜去除異常點(毛刺)以及連接路面的信號，處理后得到的信號譜見圖3。

圖3 原始載荷譜信號Fig.3 Original load spectrum signal

采用雨流計數法統(tǒng)計處理后形成包含幅值和均值統(tǒng)計計數的三維直方圖見圖4。幅值和均值各自的二維統(tǒng)計直方圖見圖5和圖6。

圖4 載荷三維統(tǒng)計直方圖Fig.4 Three-dimension statistic histogram

圖5 載荷幅值統(tǒng)計直方圖Fig.5 Statistic histogram of stress amplitude

圖6 載荷均值統(tǒng)計直方圖Fig.6 Statistic histogram ofmean stress

4.3 統(tǒng)計模型的圖形法檢驗

對經過雨流計數法統(tǒng)計的左前螺旋彈簧的載荷譜幅值和均值分別進行威布爾和正態(tài)分布的圖形檢驗[17]，檢驗結果見圖7、圖8。

圖7 威布爾分布檢驗圖Fig.7 Weibull distribution checking plot

圖8 正態(tài)分布檢驗圖Fig.8 Gauss distribution checking plot

通過觀察發(fā)現，圖7中除了部分比較小的幅值和總體趨勢不一致外，其他基本符合威布爾分布的假設，其特征比較符合工程實際，即試驗車在耐久路面行駛，在載荷譜時域序列的均值附近振蕩。

而通過觀察圖8可以發(fā)現，載荷譜均值非常符合正態(tài)分布的假設，這和圖6的直方圖結果是一致的。

4.4 模型的參數估計

采用極大似然估計法[9]對螺旋彈簧載荷的分布參數進行估計，結果見表3。

5 疲勞損傷分析

5.1 載荷譜數據樣本的截斷

利用參數估計法對載荷譜進行圖形法檢驗時發(fā)現，低載荷區(qū)域和高載荷區(qū)域實際載荷分布曲線與理論載荷分布曲線發(fā)生了較大的偏離，由于高載荷區(qū)域對整個疲勞壽命的預測影響較大，因此采用這種方法外推的載荷譜用于疲勞損傷計算會產生較大的誤差。為了解決這個問題，采用截斷樣本法來進行參數估計。

表3 統(tǒng)計分布參數

由于在載荷譜采集時采集了大量的小載荷，絕大部分小載荷是低于疲勞極限的，并不會對疲勞損傷帶來影響，而大量的小載荷對隨機分布的參數估計造成較大影響，因此采用將小載荷去除的方法將樣本進行截斷，采用截斷后的樣本進行隨機分布的參數估計。

圖9 原始數據參數估計Fig.9 Original parameter estimation

圖10 截除200 MPa以下小載荷Fig.10 Delete small load under 200 MPa

圖11 截除400 MPa以下載荷Fig.11 Delete small load under 400 MPa

圖9～圖11分別為左前螺旋彈簧載荷數據在未截斷、截除200 MPa以下數據和截除400 MPa以下數據后的估計參數檢驗圖形。由圖可知，左前螺旋彈簧的載荷數據在截除200 MPa以下的小載荷后，估計參數在中高載荷部分可以實現很高的擬合度。

按同樣的方法對表3中數據進行截取后的參數擬合，擬合的分布參數見表4。

表4 樣本截除后的分布參數

對樣本截除后的分布參數進行參數檢驗，在中高載荷部分均可實現很高的擬合度。

5.2 載荷譜的外推

以石塊路工況的4個螺旋彈簧零件的載荷譜數據為研究對象，對隨機載荷譜進行外推。石塊路總長度為2.7 km，耐久試驗總目標里程目標值為10 000 km。4個彈簧載荷在樣本截取后的單次試驗循環(huán)里程的載荷樣本數和10 000 km的累計載荷循環(huán)數見表5。

表5 載荷循環(huán)計數

由分布參數的估計結果可知，幅值基本上都符合威布爾分布，但形狀參數都不等于1，用傳統(tǒng)的數學方法無法推導出等效載荷的概率密度函數，所以采用載荷譜分級法對二維隨機載荷進行外推。

在采用載荷譜分級法進行外推時，需確定一個極限載荷，工程上一般推薦取概率P=1×10-6的載荷為極限載荷。根據擬合的分布參數計算4個螺旋彈簧幅值和均值的極限載荷見表6。

表6 螺旋彈簧極限載荷

以樣本截斷下限值作為下限值，所外推得出的極限載荷作為上限值，將載荷幅值分為m個區(qū)間，將載荷均值分為n個區(qū)間，根據所擬合的分布律計算各個區(qū)間的分布概率，乘以累計循環(huán)數得到各個區(qū)間載荷循環(huán)的統(tǒng)計計數，由此外推形成m×n二維載荷譜。左前螺旋彈簧10×8級載荷譜見表7。

5.3 累計損傷計算

5.3.1當量載荷

表7中的數據包含了載荷幅值和載荷均值，在進行疲勞損傷計算時，根據Goodman公式將其轉化為當量載荷，見表8。

表7 左前螺旋彈簧外推載荷計數

表8 左前螺旋彈簧當量載荷

5.3.2材料的S-N曲線擬合

采用分段擬合法對材料的S-N曲線進行擬合，彈簧鋼材料為60Si2Mn,根據文獻[18]查得60Si2Mn抗拉強度為1 625 MPa，疲勞極限為660 MPa，擬合S-N曲線見圖12。

圖12 鋼制式樣S-N曲線擬合(雙對數坐標)Fig.12 S-N curve fitting of steel(double logarithm coordinate)

圖12中，S1 000(Sa=1 170 MPa處)為1 000次循環(huán)的疲勞強度，對于鋼材料，S1 000取0.72Su，Su為材料的極限抗拉強度。擬合得到高周疲勞區(qū)疲勞壽命Nfh與名義應力幅Sa的關系式為

低周疲勞區(qū)疲勞壽命Nfl與名義應力幅Sa的關系式為

5.3.3疲勞損傷計算

基于擬合的S-N曲線，采用10×8級載荷分級，按照Miner定則計算4個彈簧的損傷數據，見表9。計算時，小于疲勞極限的載荷數據做省略處理[13]。

表9 疲勞損傷計算

5.3.4載荷分級對損傷計算的影響

載荷的分級會影響損傷計算結果，一般來說，載荷分級越細，計算結果越準確，但計算量也會增加。表10為載荷均值分級為8級時的不同載荷幅值分級下的疲勞損傷計算結果比較。表11所示為載荷幅值分級為50級時不同載荷均值分級下的疲勞損傷計算結果。

對表10和表11的計算結果進行分析，可以發(fā)現：

表10 不同載荷幅值分級的計算疲勞損傷

表11 不同載荷均值分級的計算疲勞損傷

(1)不同的載荷幅值分級對疲勞損傷的計算造成了較大的影響，當載荷幅值小于20級時，計算結果會產生較大的誤差，疲勞損傷結果將出現偏小的結果；當載荷分級大于40級時，計算結果趨于穩(wěn)定。

(2)不同的載荷均值分級對疲勞損傷的計算結果的影響相對要小于載荷幅值的影響，當均值分級大于16級時，計算結果基本趨于穩(wěn)定。

(3)推薦載荷幅值分級不應小于30級，載荷均值分級在15級左右即可。

6 結論

(1)對二維隨機載荷譜的外推方法進行了研究，對幅值服從形狀參數α=1、位置參數ε=0的威布爾分布和均值服從正態(tài)分布情況下的二維隨機載荷的當量載荷的概率密度函數進行了推導，給出了概率密度函數的數學模型。

(2)采集了一款城市SUV在試驗場強化路面的載荷譜數據，提出了采用樣本截斷方法進行隨機載荷譜參數估計的方法。參數檢驗結果表明，在中高載荷段，采用該方法可以很好地實現對所采載荷譜數據的擬合。

(3)采用載荷譜分級法對所采集的二維隨機載荷進行外推，基于外推的載荷譜對疲勞損傷進行了計算分析，研究了不同的載荷分級方法對疲勞損傷計算結果的影響，研究表明，當載荷譜幅值分級小于20級時，損傷計算會有較大誤差，出現偏小的結果，載荷均值的分級影響小于幅值的分級影響。推薦載荷幅值分級不應小于30級，載荷均值分級在15級左右。