構建學生數學思維發展的問題導學課堂*——以“一元一次不等式組”教學為例

黃秀旺

一、問題的提出

蘇聯心理學家馬丘斯金等人認為，問題是思維的起點，問題解決過程也就是創造性思維的過程。現代建構主義學習觀和教學設計理論都把問題解決作為建構性學習的基本策略。美國、澳大利亞等國對此問題也做了深入的研究，認為問題是思維的開始，問題的解決過程就是思維發展的過程，提出了“拋錨式教學”（Anchored Instruction）。由于“拋錨式教學”要以真實事例或問題為基礎（作為“錨”），所以有時也被稱為“實例式教學”或“基于問題的教學”。

新課程改革以來，國內三大課堂教學改革學校——洋思中學、杜郎口中學和東廬中學構建起特色鮮明、能夠充分發揮學生主體作用的教學方法。從其經驗分析可看出“先學后導，以學定教”是他們課堂教學改革成功的本質與發展趨勢。

基于初中生思維力生長的問題導學式課堂教學，就是基于國外的研究成果、我國課堂教學改革發展的趨勢和筆者在教學實踐中取得的研究經驗的基礎上提出來的，旨在以問題為載體，引導學生自主探索、合作交流，讓新知變得自然生成，讓新知的學習變成“再創造”，讓思維來得自然與必然，追求“思維力生長”。

二、基本流程及操作說明

1.問題導學。

這一環節的主要目標是通過設置問題引導學生回顧與新授課相關的知識、方法與經驗。

要實現這樣的目標應做到：（1）深入鉆研教材，理清與新知相關的舊知以及新知與舊知之間的邏輯關系；（2）剖析新知學習時所要運用的方法，然后在方法層面編制基于“最近發展區”的問題。我們知道，要實現從舊知引出新知，重要的是啟迪思維、暗示方法，這是思維力生長的關鍵所在，而這正是問題設置所面臨的挑戰。

問題導學1：從“問題”到“方程（組）”。

問題：一個長方形的周長為16 cm，長比寬多2cm。設長、寬分別為xcm、ycm，試列出二元一次方程組表示這個長方形的長與寬之間的數量關系。

思考：（1）對于以上信息，你將提出哪些問題？你又將如何解決？（2）你能建立方程或方程組的根據是什么？

【設計意圖】方程與不等式是描述數量關系的模型，雖然一個是相等關系，一個是不等關系，兩者不同，但從學習的視角分析，又有許多相似之處，比如，從實際問題轉化為數學問題的思路與方法，從滿足相等關系或不等關系來確定方程的解、不等式的解，從滿足兩個方程或兩個不等式（可以兩個及兩個以上不等式）來確定方程組的解、不等式組的解。所以本節課學習一元一次不等式組，但問題導學1 卻設計方程組的問題，其意圖在于：（1）關注數學模型的建立，學生回顧從“問題”到“方程（組）”，經歷“數學化”的過程，類似的，接下來也要經歷從“問題”到“不等式（組）”，都涉及如何獲取信息并加工信息；（2）強調建立方程或方程組的根據是“相等關系”，從“相等關系”到“方程（組）”也就是符號表示，接下來，類似的，學生也要由“不等關系”到“不等式（組）”，這個層面包含方法與經驗。

問題導學2：確定二元一次方程組的解。

【設計意圖】與問題導學1 一樣，繼續回顧舊知（方程的解、方程組的解）與相關方法（確定方程的解的方法，確定方程組的解的方法）。總體而言，問題導學環節就是回顧與新知（不等式組）相關的內容（方程組），在基本概念、基本方法及學習經驗方面展開。

2.探索活動。

這一環節的主要目標是在“問題導學”的基礎上，組織開展探索活動，力求變教師的講授為學生的自主探索，在此過程中，進一步發展學生的思維。

要實現這樣的目標應做到：（1）設計出能引導學生思考數學知識發生發展過程中的關鍵問題，重走數學的發現之路；（2）引導學生主動參與，特別強調的是，讓學生參與探索活動，一定要教學生學習如何探究。而不是學生不明緣由，僅僅按教師設計好的步驟、方法去執行；（3）鼓勵學生討論交流，這不僅有利于培養學生的數學表達能力，也能發展和深化對數學概念、規律、問題解決策略的理解，也有利于學生思維的發展。

活動1：構建“一元一次不等式組”的概念。

問題：小麗早晨7 時30 分騎自行車上學，要在7 時50 分至7 時55 分之間到達離家3400m 的學校，小麗騎自行車的速度應在什么范圍內？

追問1：問題中包含的數量關系是什么？

追問2：如果設小麗騎自行車的速度為xm/min，那么以上數量關系如何表示呢？

追問3：問題中的未知數x 應該滿足什么條件？

【設計意圖】對于一元一次不等式組的概念，并不是直接給出定義，而是在“問題導學”環節的基礎上，通過創設實際問題背景，遷移研究方程（組）的方法與經驗進行探究，具體表現在分析問題中的數量關系，可以用文字敘述這個數量關系，也可以口頭敘述；在引入字母時，將以上數量關系進行符號表示，獲得兩個不等式；再類比方程組的意義建立不等式組概念。通過設置3 個追問，讓學生自己來解決，而不是由教師來口頭傳授。同時，3 個追問也引發學生不斷深入的思考，當然，如果遷移方程組的學習思路、方法，那么問題的引申、思維的生長將變得自然與必然。

活動2：解不等式組

【設計意圖】類比二元一次方程組的解的概念，提出類似的問題：使兩個一次不等式都成立的未知數x 的值。方程組的解是找到兩個方程組的公共解，類似的，不等式組的解也是找到兩個不等式解集的公共部分（不等式組不一定由兩個不等式構成的）。顯然，在這樣的問題引導下，學生完全可以實現自主學習，教師的主導性更多體現在課前對教學內容深刻理解的基礎上的問題編制。

3.建立數學概念。

這一環節的主要目標是在“探索活動”中及時歸納提煉數學概念、原理及方法。可以邊探索邊歸納，也可以探索活動結束時系統歸納，這取決于教學而定。

要實現這樣的目標應做到：（1）課前做精心的設計，一節課45 分鐘，也許從開始到結束就不斷有新知的產生，那就需要適時歸納，并輔以板書；（2）提煉的內容不僅僅是基本概念、原理，更要關注基本方法、基本思想，以及基本活動經驗，要把研究本節課內容的路徑及方法揭示出來，變暗線為明線。

本節課歸納的數學概念為一元一次不等式組、不等式組的解集和解不等式組。研究方法為類比方程組。研究路徑是從實際問題到不等式組，從不等式組的概念到解不等式組。

【設計意圖】分別從數學概念、研究方法、研究路徑等角度歸納探索活動后的新知，并且通過合理的板書，形成知識結構化，便于學生建構自己認知體系中的知識結構，提高學習效果。

4.例習題講解。

這一環節的主要目標是知識與方法的應用。探究新知時，從實際問題到數學問題，獲得新知后，又需從數學知識到數學應用，即再回到實際問題中，不僅增強應用意識，還有利于學生對新知與方法的深入理解。

要實現這樣的目標應做到：（1）精選典型的例題或習題；（2）精講典型的例題或習題，好的例習題，還需精彩的講解，當然這里的講解不一定是教師一人的獨角戲，還需要教師精心設計講解的程序，依然凸顯問題引導、強化思維生長。

【設計意圖】此例題為典型例題，例題中包含的信息有：一元一次不等式組的概念，一元一次不等式組解集的概念，確定一元一次不等式組解集的方法，并且利用“數軸”這一工具，直觀明了，突出確定一元一次不等式組解集就是找到兩個解集的“公共部分”。例題教學時，教師應引導學生學會審題，分析題目中的多個信息，明確“做什么”“怎么做”“為什么這樣做”等等，通過問題引導學生進一步理解新知，發展思維。

5.拓展延伸。

這一環節的主要目標是基于新知學習過程中所運用的數學思想方法以及活動經驗的延伸應用。我們知道在探索新知的過程中，更為寶貴的是“過程與方法”，它更能體現當前學生核心素養培養的策略與方法，值得大力提倡。“拓展延伸”正是進一步強化活動過程中方法與經驗的再應用。

要實現這樣的目標應做到：（1）深入理解教材，挖掘數學思想方法以及在探索新知過程中的活動經驗；（2）編制相應的問題，力避“三不”（不超進度，不要繁難，不在“技能”上用力），提倡在“過程與方法”上用力。

【設計意圖】此一元一次不等式組由三個不等式構成，一方面糾正部分學生認為一元一次不等式組像二元一次方程組一樣由兩個不等式構成的誤解，另一方面也是本題最有價值的——進一步突出確定一元一次不等式組的解集的本質是“找到幾個不等式的解集的公共部分”，并且借助數軸可以直觀獲得。部分教師或學生對于確定由兩個不等式構成的不等式組的解集時，在沒有理解確定解集的基本方法的基礎上，就簡單利用“口訣”求解，例如，“大大取大，小小取小，一大一小之中間找，有時找不到”，這樣的教學或學習是很難求解本題的。

6.課堂小結。

這一環節的主要目標是對數學知識、思想方法的歸納、梳理，對數學活動經驗的提煉，對數學知識進行橫向比較和縱向溝通，加強新舊知識之間的聯系，展現數學知識的內部結構，有助于發展學生的數學思維力。要實現這樣的目標應做到：課堂小結力求形式多樣，突出學生的主體地位以及提煉思想方法。這樣的小結對學生的學習有很好的方法論意義。

三、總結

以上從“問題導學”“探索活動”“建立數學概念（模型）”“例習題講解”“拓展延伸”“課堂小結”等課堂教學基本環節進行了分析，從基于初中生思維力生長的問題導學式課堂教學的視角看，上述六個環節所體現的共同特征是：以問題為載體引導學生通過自主探索、合作交流獲取新知；問題是核心，合理的問題使學生“想得到”“想得妙”，數學思維得到自然生長；在整個教學過程中，教師是在暗示研究方法、啟迪數學思維，踐行啟發式教學，讓新知成為活動的載體，讓學習變為“再創造”；在教學過程中，教師適時提煉教學內容所蘊含的思想方法，有具體的、一般性的數學思想方法，也有科學研究的一般方法，這些方法的提煉能促進學生思維力的自然生長和初步的科學研究能力的提升。