微積分傳入前后清朝數學家對微積分相關問題的研究

李丹 大連財經學院

微積分傳入我國是以1859 年李善蘭與偉烈亞力合作翻譯出版《代微積拾級》為標志的。微積分傳入前后這段時間，項名達和夏鸞翔等數學家分別將開方術應用于無理式積分的相關問題，如橢圓求積術等問題的研究，亦有較為突出的成就。而這些成就恰巧在微積分傳入前后這段時間所取得，具有較為重要的意義。

項名達（公元1789—1850），原名萬準，字步萊，號梅侶，浙江仁和人。嘉慶二十一年（1816）舉人，考授國子監學正。道光六年（1826）進士，改官知縣，呈請歸學正本班銓補。未幾乞假歸，主講杭州紫陽書院，直至1846 年辭去講席，專事著述。著有《下學庵算學》三種各一卷，分別為《勾股六術》（1825）、《三事和較術》（1843）、《開諸乘方捷術》（約1845），還有未完稿《象數一原》六卷（1849）。戴煦（公元1805—1860），字鄂士，號鶴墅，又號仲乙，浙江錢塘人。十五歲，入杭州府學，后絕意進取。戴煦讀書興趣廣泛，數學、音律、文學、古文字、繪畫、篆刻乃至堪輿無不精究，而以數學為主要研究領域。1860 年3月19 日，太平天國軍攻克杭州，戴煦隨兄自盡。戴煦著有《四元玉鑒細草》三卷、《求表捷術》四種共九卷。

項名達和戴煦二人關系密切。1826 年，戴煦初成《四元玉鑒細草》若干卷，項名達閱后即與戴煦相見，二人遂為忘年之交。二人均治學嚴謹，學術交往頻繁，許多成果兩人都相互討論研究。戴煦遵項名達遺囑為其校補《象數一原》并補第七卷。二人在開方術的研究上亦交流頻繁，故本章討論二人的研究。

項名達有未完稿的《象數一原》六卷（1849），戴煦受項名達囑托于咸豐七年（1857）校補并補卷七橢圓求周術圖解。該著作在三角函數冪級數展開式和橢圓求周方面均有深入的研究。其中，卷六是在董 誠研究的基礎上，對橢圓求周術的研究，卷七是戴氏所補圖解。以 a，b 分別為橢圓的長半軸和短半軸，以p 為橢圓周長，e 為離心率，則項名達所給出的橢圓周長公式為

戴煦指出項名達的橢圓求積術以大輔圓立算，故以“借大積”開平方，也可以小輔圓立算，以“借小積開平方。”于是，戴煦借助《開諸乘方捷術》中的補第一術，亦即《續對數簡法》中的“以本數為積求折小各率第二術”，

給出了橢圓周長的另一個公式

項名達和戴煦所給出的橢圓周長公式是正確的，他們運用了橢圓基本定理，開方術及相似等知識。他們的工作是在微積分傳入之前，而其思想與橢圓積分的原理相同。他們的方法在微積分傳入前，對解決微積分所研究的相關問題具有重要的意義，而微積分傳入后，對我國數學家理解微積分知識也有一定的作用。但是，他們的方法較為初等，因此計算量很大。

項名達和戴煦之后，夏鸞翔也研究了曲線求積問題，得到了一般的橢圓弧長公式。

夏鸞翔（公元1825—1864），字紫笙，浙江錢塘人。“夏姓是杭州一帶的大族，歷史上出過不少達官名儒，……清初以后夏族漸衰，然家世好學，門風濡染，知名于鄉里者仍不少。”夏鸞翔自小刻苦勤學，尤其酷愛繪畫和詩歌。同樣是因為受到家庭影響，夏鸞翔醉心于功名，多次參加科舉考試，但均為中第。

1845 年，夏鸞翔因為閱讀戴煦的著作，遂登門拜訪而結識同鄉戴煦，后又與項名達相識，拜項名達為師，從此系統地學習數學和天文學知識。1857 年，夏鸞翔通過輸餉議敘的方式得到了一個詹事府主簿的職位，1858 年，因喪母而歸家守孝，這個時期，夏鸞翔與時任江蘇巡撫的數學家徐有壬有所交往，在學術上也有所交流。1860 年初，李善蘭應徐有壬之邀來到蘇州做幕賓，夏鸞翔很可能結識了李善蘭，并見到了李善蘭與偉烈亞力合譯的《代微積拾級》，從而因此學習到了微積分的知識。后來，因為太平天國運動，蘇杭一帶戰事不斷，夏鸞翔為逃避戰亂，于1863 年到達廣州，同時帶去了自己的主要著作和戴煦的《對數簡法》。不久之后，夏鸞翔便結識了鄒伯奇和吳嘉善等人，這些數學家互相探討交流，得到了一些數學研究成果。1863 年底，廣東巡撫郭嵩燾開始籌建輿圖館和同文館。籌建中的同文館擬設西文教習、中文教習各一人。郭打算聘請夏鸞翔為中文教習，可惜，夏鸞翔未到任便于1864 年因病去世，享年僅42 歲。

夏鸞翔的主要數學著作有《少廣縋鑿》一卷）（約1850）、《洞方術圖解》二卷（1857）、《致曲術》和《致曲圖解》各一卷（約1860—1861）和《萬象一原》九卷（1862）等。夏鸞翔去世后，鄒伯奇等甚為痛惜，鄒囑托吳嘉善搜尋夏鸞翔的著作，后來郭嵩燾亦出資。直到1874 年，鄒伯奇的后人在出版《鄒征君遺書》時，才將夏氏的部分著作（以上所列前四種）一并刊印。

他的相關研究成果主要記載在《致曲術》《致曲圖解》以及《萬象一原》中。夏鸞翔在《致曲術》“橢正弦求橢弧背術”中給出了橢圓弧長的冪級數展開式。對于橢圓，設L 為橢圓上從點到點的一段橢弧長，則

夏鸞翔在《致曲術》中并沒有給出詳細的推導過程，可以根據夏氏相關著作對該式予以說明，如下

李善蘭和偉烈亞力翻譯出版的《代微積拾級》的卷十四第八款給出曲線的弧長微分式為

卷十八還給出橢圓弧長公式

在上式中的

將上列各式代入式（2）可得式（1）。而式（1）是表示橢圓從點到點的弧長，若將點換為，即在式（1）中令，再乘以4，整理可得項名達所給出的橢圓周長公式。

夏鸞翔利用開方術等知識得到了橢圓弧長的一般公式，其成果比項名達的更具一般性。夏氏的成果在微積分傳入我國之后，并且從他的著作中可以得知其已經接觸學習到了《代微積拾級》中的相關知識。然而，在處理被積函數中的無理式的展開式時，他拋開了《代微積拾級》中的泰勒公式和馬克勞林公式，而應用了中國傳統的遞加數的知識對二項式函數進行展開，然后再逐項求積分。在當時的許多中國數學家看來，“‘微分術’幾乎等同于級數展開式的求法，而級數展開法在中國傳統數學中‘遞加數’就可以解決，因此在夏氏看來，微分術就是‘遞加數’”。

綜上，在微積分傳入以前，中國數學家借助開方術的研究成果，解決了一部分曲線求積問題，他們因此易于接受積分中無限分割的思想。但是，由于開方術的知識背景是以遞加數為基礎，這使得中國數學家在學習微積分的時候認識過于狹隘，往往認為與中國的遞加數沒有區別，而阻礙了廣大數學家對微積分的吸收與研究。