基于大數(shù)據(jù)及倒向隨機(jī)微分方程的保險(xiǎn)定價(jià)模型

李延敏 長(zhǎng)春財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研部

1 引言

倒向隨機(jī)微分方程理論研究的歷史較短，進(jìn)展卻非常迅速。除了本身所具有的有趣性質(zhì)之外，其重要的應(yīng)用前景也是吸引眾多學(xué)者的原因。現(xiàn)在，倒向隨機(jī)微分方程滲透于偏微分方程、金融數(shù)學(xué)、隨即控制、微分幾何等領(lǐng)域。它正逐漸發(fā)展成為一門具有強(qiáng)大發(fā)展?jié)摿Φ臄?shù)學(xué)分支和應(yīng)用工具。

本文針對(duì)保險(xiǎn)定價(jià)在實(shí)際應(yīng)用中的基礎(chǔ)理論問題，以隨機(jī)過(guò)程為基礎(chǔ)，把倒向隨機(jī)微分方程理論應(yīng)用于其中，建立保險(xiǎn)定價(jià)的倒向隨機(jī)微分方程數(shù)學(xué)模型，推出保險(xiǎn)定價(jià)公式，并通過(guò)大數(shù)據(jù)運(yùn)算，得出優(yōu)于一般定價(jià)模型。

現(xiàn)在保險(xiǎn)業(yè)中，競(jìng)爭(zhēng)激烈，只靠保費(fèi)盈利越來(lái)越艱難，投資對(duì)于保險(xiǎn)業(yè)的盈利越來(lái)越重要，而倒向隨機(jī)微分方程已被應(yīng)用于證券定價(jià)和組合中，己是很有力的投資工具了。所以把倒向隨機(jī)微分方程用于保險(xiǎn)定價(jià)有很重要的現(xiàn)實(shí)意義與很廣闊的發(fā)展空間。

2 建立保險(xiǎn)定價(jià)數(shù)學(xué)模型

2.1 在風(fēng)險(xiǎn)投資的框架下，建立保險(xiǎn)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型。基本思路和步驟如下：

(1)假設(shè)金融市場(chǎng)僅有兩類資產(chǎn)，即無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。不考慮交易費(fèi)用，稅收和紅利。即：

進(jìn)而，可以得到如下保險(xiǎn)定價(jià)的正倒向隨機(jī)微分方程：

2.2 保險(xiǎn)定價(jià)公式的推導(dǎo)

定理2.1：假設(shè)保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的，其資產(chǎn)所滿足的倒向隨即微分方程為：

2.3 當(dāng)保險(xiǎn)價(jià)格低于實(shí)際方法定價(jià)時(shí)的條件

保險(xiǎn)公司只要確保上述條件成立，就可以保證使用保險(xiǎn)定價(jià)公式(2.5)厘定出較目前應(yīng)用的定價(jià)方法厘定出的費(fèi)率。實(shí)際情況下，一般保險(xiǎn)資金的投資比例都可以在70%以上，都在3%左右，可以達(dá)到60%以上，而且與是同向變化的。所以通常情況下，達(dá)到 (2.6)的條件并不難。

3 實(shí)證分析

根據(jù)證券公司的“重點(diǎn)關(guān)注的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)金融產(chǎn)品”的數(shù)據(jù)，取國(guó)債收益率的均值為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，即=3.11%。取火災(zāi)保險(xiǎn)的附加保費(fèi)0.1 作為本例的附加保費(fèi)，不妨設(shè)T=1，。保險(xiǎn)公司歷年賠款額和保險(xiǎn)金額的數(shù)據(jù)如表1：

表1 吉林省保險(xiǎn)公司歷年賠款額和保險(xiǎn)金額的數(shù)據(jù)

3.1 使用實(shí)際中應(yīng)用的方法(均值-方差法)計(jì)算保險(xiǎn)價(jià)格

計(jì)算平均損失率： 計(jì)算損失率的標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差不是很大，可設(shè)m=1。

保一百萬(wàn)標(biāo)的需付費(fèi)0.81 萬(wàn)元；

3.2 使用倒向隨機(jī)微分方程定價(jià)方法

根據(jù)(2.5)，新計(jì)算的保險(xiǎn)價(jià)格為

保一百萬(wàn)標(biāo)的需付費(fèi)0.722 萬(wàn)，比傳統(tǒng)定價(jià)有一定的優(yōu)勢(shì)，這個(gè)例子說(shuō)明，投資者若承諾100 萬(wàn)元的保險(xiǎn)額，保險(xiǎn)公司只需收取0.7225 萬(wàn)元的保費(fèi)，保險(xiǎn)公司在1 年以后就能夠承擔(dān)最高不超過(guò)100 萬(wàn)元的索賠。

通過(guò)大數(shù)據(jù)對(duì)比，保險(xiǎn)公司能否在競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)化環(huán)境下，站穩(wěn)腳跟，既取決于保險(xiǎn)費(fèi)用收取的合理性，又取決于風(fēng)險(xiǎn)投資運(yùn)作的狀態(tài)。將承保與投資聯(lián)系起來(lái)研究保險(xiǎn)定價(jià)，是遵從市場(chǎng)要求的，勢(shì)在必行。

4 新保險(xiǎn)定價(jià)方法的結(jié)論

4.1 保險(xiǎn)定價(jià)公式含義的分析

應(yīng)用倒向隨機(jī)微分方程理論得到的保險(xiǎn)定價(jià)公式與實(shí)際方法的比較，可以得到以下結(jié)論：

(l)給出的定價(jià)公式顯示，保險(xiǎn)價(jià)格(保險(xiǎn)費(fèi)率)只與平均索賠率(平均損失率)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率有關(guān)，由于這兩個(gè)參數(shù)都是相對(duì)比較穩(wěn)定的，就可以使得保險(xiǎn)費(fèi)率變化不會(huì)太大。

這一點(diǎn)與實(shí)際情況是吻合的，保險(xiǎn)公司在實(shí)際定價(jià)時(shí)的確會(huì)根據(jù)平均索賠率(平均損失率)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率來(lái)調(diào)整保險(xiǎn)價(jià)格。

(2)公式中沒有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的相關(guān)參數(shù)。保險(xiǎn)定價(jià)確實(shí)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)沒有直接關(guān)系，但是如果保險(xiǎn)公司因此而把資金都投入到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，而不去投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，保險(xiǎn)公司最終只可能收支相抵，難以發(fā)展業(yè)務(wù)，公司也就不會(huì)有競(jìng)爭(zhēng)力。只有投資一定量的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，通過(guò)構(gòu)建投資組合，才能確保公司最大限度的賺取利潤(rùn)，處于有利的地位。

(3)定價(jià)方法更加客觀，從公式 (2.5)不難看出，其中的參數(shù)都是客觀數(shù)據(jù)，不會(huì)加入主觀因素，從而可以使得保險(xiǎn)費(fèi)率更加客觀公正。相比而言，實(shí)際運(yùn)用的方法則帶有主觀因素，盡管純費(fèi)率和附加費(fèi)率的厘定是建立在嚴(yán)密的精算科學(xué)基礎(chǔ)上的，但是其計(jì)算復(fù)雜，法律法規(guī)上又沒有可靠的區(qū)間規(guī)定，就使得費(fèi)率的厘定有了主觀控制的可能。

(4）通過(guò)實(shí)證分析，驗(yàn)證了的定價(jià)公式。進(jìn)而通過(guò)兩種方法的比較，得知滿足這個(gè)條件的可行性很強(qiáng)，只要保險(xiǎn)公司運(yùn)轉(zhuǎn)正常，都可以得到較低的保險(xiǎn)價(jià)格。

4.2 研究方法前景分析

利用倒向隨機(jī)微分方程理論，在投資的基礎(chǔ)上，對(duì)一般情況下的保險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，由公式顯見，保險(xiǎn)價(jià)格是客觀公正的，彌補(bǔ)了效用理論主觀因素的不足。此處只是給出了一般情況下的保險(xiǎn)定價(jià)方法，為保險(xiǎn)定價(jià)提出了一種思路，當(dāng)然在實(shí)踐中保險(xiǎn)定價(jià)要基于詳盡的社會(huì)調(diào)查和精密的計(jì)算，研究者可以根據(jù)險(xiǎn)種的不同，將參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的變化，以顯示該險(xiǎn)種的特性，倒向隨機(jī)微分方程理論在保險(xiǎn)業(yè)的定價(jià)問題中具有廣闊的應(yīng)用前景。