借助幾何畫板提升學生直觀想象核心素養

王海伴 郭克璽

摘? 要 《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出六項核心素養，為高中數學教學制定了課程總目標。在高考二輪復習中突破傳統教學，從信息技術的視角，對高中數學拋物線的一個性質進行驗證、探究、應用、拓展推廣，有效培養學生直觀想象核心素養。

關鍵詞 數學核心素養;直觀想象;幾何畫板;主題教學;數學實驗;拋物線;課程改革;深度學習

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2019）09-0093-03

1 前言

直觀想象重點是通過直觀感知客觀事物的形態與變化，認識事物的位置關系、數量關系、變化規律，通過建立形與數的聯系來分析數學問題，尋求問題解決的思路。直觀想象是發現問題的基礎，也是邏輯推理、數學抽象的思維基礎。當下高中數學教學最大的難點在于知識內容抽象難懂，需要學生由原來的感性認識逐漸上升到理性認識，這就要求教師將比較抽象的學術形態內容轉化為學生容易直觀感知的教育形態內容。幾何畫板作為最出色的教學軟件之一，無疑可以在這一點上起到很大的幫助作用。

幾何畫板可以為教師提供豐富而便捷的教學設計與實踐平臺，方便教師開發自己需要的各種素材，能夠動態展示對象的位置關系、變化規律，也能快速驗證數學猜想，有利于促進學生通過數學實驗發現問題與提出問題，有利于提升學生的直觀想象素養，也為有效落實其他高中數學學科核心素養培養提供了基礎保障。本文從拋物線的一個性質出發，借助幾何畫板驗證、探究、應用、拓展，在提升學生直觀想象的核心素養方面做了一些嘗試。

2 提出問題

已知直線l經過，與拋物線x2=2py（p>0）交于A，B兩點，求證：這兩點的橫坐標之積為某一定值。

在高三第二輪專題復習中，證明完這一性質，為了加深學生對這一性質的理解，增強學生直觀印象，筆者通過幾何畫板動態演示了這一性質。課后有學生通過幾何畫板發現當直線不在拋物線的焦點，而在拋物線對稱軸的任何位置，直線與拋物線交點的橫坐標之積仍為定值，并興奮地拿著自己的發現來請教。看著學生的這股熱情，筆者便專門為這一性質準備了一個主題教學。

3 教學過程簡述

著名教育家波利亞說過：“發現問題比解決問題更重要。”新一輪課程改革，在原有“雙基”的基礎上提出“四基”“四能”，這也就意味著在高中數學教學中，對學生從數學的角度發現和提出問題的能力提出明確要求，這也是當下高中數學教育教學中亟待解決的問題。

問題探究

已知直線l經過N（0，m），與拋物線x2=2py（p>0）交于A，B兩點，求證：這兩點的橫坐標之積為常數。

如圖1所示，前面提到的那位學生通過幾何畫板演示自己的發現，利用幾何畫板的度量功能，可以清楚地觀察到：當直線l圍繞定點N旋轉時，點A，B橫坐標之積xAxB仍為定值。學生很驚訝！當然，發現問題的這位學生很是自豪。

可以看到幾何畫板功能的合理利用是觸發學生發現和提出問題的關鍵原因之一。適當深度應用信息技術可視化教學，在提升學生直觀想象素養的同時，也為下面的邏輯推理奠定了基礎。接下來，師生一起類比前面的證明過程，對這一結論進行證明，過程如下。

設直線l為y=kx+m，l交拋物線x2=2py（p>0）于A（x1，

y1），B（x2，y2）兩點。由可得x2-2pkx-2pm=0，所以x1x2=-2pm。

師：當拋物線以x軸為對稱軸，會有類似的情況嗎？

生（異口同聲）：有。

師：說說你們的結論。

生1：已知直線l經過N（m，0），與拋物線y2=2px（p>0）交于A，B兩點，應該有這兩點縱坐標之積也為某一定值。

數學問題的發現、提出，建立在直觀感知、空間想象的基礎上，幾何畫板將原本冰冷、抽象、難理解的死圖，轉化為火熱、形象、易觀察的活圖，從而激活了學生本有的好奇心，激發了學生學習數學的熱情，激活了課堂。學生利用幾何畫板一方面直觀感知圖形中點、線的變化情況，另一方面仔細觀察A，B兩點坐標數值的變化情況，然后操作確認，從而有效提升了直觀想象的數學核心素養，也為落實其他數學核心素養的培養提供了保證。

實踐應用

師：上述這一性質能否幫助我們解決問題？請看下列實例。

【實例1】已知定點P（x0，y0）在拋物線x2=2py（p>0）上，過定點P作兩直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，當直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求證：為某一定值。

師：同學們想怎樣研究這一問題？

生2：先采用幾何畫板來驗證這一結論的正確性。

如圖2所示，教師與學生一起快速畫圖，拖動點A，學生直觀感受直線PA隨著點A的變化而變化，直線PB相應地也在發生變化，但幾何畫板度量的值為定值-2。學生蠢蠢欲動，很想探個究竟;教師因勢利導，引導學生證明。

證明：設直線PA與PB分別交拋物線對稱軸于M（0，m）、N（0，n），因為直線PA與PB的傾斜角互補，所以直線PA與PB關于y=y0對稱，則m+n=2y0。由上述結論可知，x0x1=

-2pm，x0x2=-2pn，則，，這樣，得到。

師：大家還能提出類似問題嗎？我們繼續來看。

【實例2】已知點P（2，1），過點P作兩直線交拋物線x2=

4y于A（x1，y1），B（x2，y2），當直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求證：kAB為某一定值。

與前面一樣，師生共同先采用幾何畫板來驗證這一結論的正確性，師生一起快速畫圖，拖動點A，直線PA隨著點A變化，直觀感受直線PB相應地也在發生變化，幾何畫板度量直線AB的斜率kAB恒為定值-1。學生再次被眼前這一現象吸引，對問題的解決表現出極大的興趣與熱情。學生通過直觀感受直線位置關系的變化，實驗操作確認數量關系的變與不變，有效提升直觀想象核心素養，同時為進行邏輯推理、數學運算做好準備。（證明過程略。）

師：實例2能否進一步推廣？請大家試一試。

生3：我感覺如果定點P變為該拋物線上任意一定點，可能也應該具有kAB為某一常數。

師：請同學們舉例說明。

生4：我嘗試表述：已知點P（x0，y0），點P在拋物線x2=2py（p>0）上，過定點P作兩直線交拋物線于A（x1，y1），

B（x2，y2）兩點，直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，kAB依然為某一常數。

引導學生獨立證明上述一般性結論。

此時，教師隨手通過幾何畫板做出拋物線在點P處的切線，利用度量工具計算拋物線在點P處的切線斜率。在拋物線上移動點B，學生直觀感知直線PA與PB的變化情況，但是注意到直線AB的斜率kAB與拋物線在點P處的切線斜率永遠互為相反數。這樣就又一次激發了學生探究問題的熱情。

師：怎樣求曲線在某一點處的切線方程？

生：利用導數。

教：還有其他方法嗎？

生：聯立方程，利用Δ來判斷。

學生計算獲得斜率為。在渴望、歡快、愉悅的氛圍中提升了學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養。

推廣拓展

師：今天同學們表現很棒。我們大家都明白，圓、橢圓、雙曲線、拋物線統稱為二次曲線，拋物線具有的這個性質，橢圓是否也具有？

生（興致很高，異口同聲）：利用幾何畫板驗證。

已知， A、B是橢圓C：上的任意兩點，kPA+kPB=0，求證：kAB為常數。

通過幾何畫板建立橢圓的參數方程，畫出上述橢圓，學生直觀感受、實驗操作旋轉直線PA，可以看到直線PB隨著變化。幾何畫板度量直線PA、直線PB的斜率都在變化，但是直線AB的斜率kAB恒為定值。教師引導學生進行證明。

師：可以看出點的橫坐標恰好為橢圓右焦點的橫坐標，直線AB的斜率恰好為橢圓的離心率，任意橢圓是否都具有上述性質？

已知點，A，B是橢圓C：上任意兩點，kPA+kPB=0，求證：kAB為常數。

幾何畫板進一步驗證了猜想，并用類似的方法可以證明上述結論。學生猜想雙曲線也具有同樣類似的性質，仍然通過幾何畫板快速畫圖、直觀感悟、實驗操作、推理證明得出有關性質：已知點，A，B是雙曲線C：上任意兩點，kPA+kPB=0，則kAB為常數。

整節課，學生被形與數的完美結合深深吸引，在輕松愉悅的氛圍中觀察、感知、實驗操作、推理驗證、拓展推廣，以發展直觀想象為出發點，提升了數學抽象的核心素養，在渴望結論的證明中提升了邏輯推理、數學計算的核心素養。通過合理應用幾何畫板，高中數學學科核心素養培養在歡快、活躍的課堂氛圍中落到實處。

4 結語

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力[1]。由此可見，高中數學學科核心素養培養的有效落實必須建立在學生積極主動參與、合作的基礎上。而當下的高三數學教學在短平快的節奏下，對學生進行大量的習題訓練，效率不高，最關鍵的原因是學生參與度不高，感受不到學習的快樂、成長的快樂，很難落實核心素養培養。而信息技術的合理利用，讓學生在直觀、形象的圖形變化中感悟數與形的結合、變與定的統一，符合學生的認知規律，注重學生的心理感受，為提升學生直觀想象核心素養提供了基本保障。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展[1]。通過信息技術與數學問題的深度融合，切合學生的興趣點，打通直觀形式與抽象形式的聯系，教師通過幾何畫板以增強學生直觀想象為目的，意外促使學生直觀感知、由特殊到一般，簡單推理發現數學問題，看似偶然，實屬必然。可以看出，直觀想象是數學問題發現的基礎，反過來，數學問題的發現過程提升了學生的直觀想象素養。以幾何畫板為輔助手段，探究數學未知問題，應用新得出的結論，拓展推廣數學結論，這一過程也正是深度學習方式下落實直觀想象素養培養的過程。

直觀想象核心素養，作為高中數學學科核心素養之一，能否有效提升，在一定程度上直接影響著數學抽象、邏輯推理、運算能力等核心素養的培養與發展。換句話說，其他核心素養在一定程度上受限于直觀想象。好奇是學生的本性，是想象的源泉，提升學生核心素養，需要保持好學生天生的好奇心。信息技術的合理利用，讓學生在詫異、好奇中感知數與形的美妙變化，他們自然會在動腦、動口、動手中提升數學核心素養。合理利用信息技術平臺，為學生進行深度學習提供了可能，為學生理解數學問題本質奠定了基礎，為提升學生數學學科核心素養提供了基本生長點。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：3-4.