邊坡穩(wěn)定性分析中傳遞系數(shù)法顯式解和隱式解安全系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系探討

邱永平 劉菀茹 張東卿 羅一農(nóng)

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司， 成都 610031)

邊坡穩(wěn)定型分析是一個研究歷史比較悠久的課題，穩(wěn)定性計算也有相當(dāng)多的成熟方法，如瑞典圓弧法(Fellenius法)、簡化Bishop法、簡化Janbu法、美國陸軍工程師團(tuán)法、羅厄法(Lowe-Karafiath)、Sarma(I)法、Morgenstern-Price法、Spencer法、不平衡推力法(傳遞系數(shù)法)等。其中，傳遞系數(shù)法在我國工程建設(shè)中應(yīng)用普遍。傳遞系數(shù)法按安全系數(shù)作用的不同可分為增大下滑力法和滑面強度折減法，增大下滑力法可得出穩(wěn)定系數(shù)的解析解，也稱為顯示解法。強度折減法需經(jīng)迭代計算才能得出穩(wěn)定系數(shù)，也稱為隱式解法。

不同行業(yè)現(xiàn)行規(guī)范中邊坡穩(wěn)定的推薦求解方法如表1所示，從表中可以看出各行業(yè)推薦采用的方法并不統(tǒng)一。在計算機(jī)應(yīng)用尚未普遍應(yīng)用時，顯式解法由于求解比較方便，在國內(nèi)應(yīng)用廣泛，在安全系數(shù)如何取值上也得到了大量經(jīng)驗，因此各行業(yè)規(guī)范普遍采用顯式解法。

由于顯式解法采用了增大下滑力的方式，而其它穩(wěn)定計算方法都采用滑面強度折減的方式，計算原理的差異使顯式解法常常受到質(zhì)疑，各個行業(yè)也逐漸開始采用隱式解法。從而在穩(wěn)定計算時，面臨顯式解法和隱式解法的安全系數(shù)取值如何匹配，才能使兩者邊坡穩(wěn)定性評價結(jié)果相同的問題。同時隨著數(shù)值分析強度折減法在邊坡穩(wěn)定性分析中的廣泛應(yīng)用，大型工程滑坡要求同時采用傳遞系數(shù)顯式解法和數(shù)值分析強度折減法進(jìn)行計算分析，同樣面臨兩種算法安全系數(shù)取值匹配的問題。長期以來，業(yè)內(nèi)同行為研究兩者的匹配關(guān)系做了大量工作，但均未取得實質(zhì)性成果。本文對此展開研究，以供同行參考。

表1 各行業(yè)現(xiàn)行規(guī)范求解方法一覽表

部分規(guī)范的安全系數(shù)取值如表2所示。

表2 各規(guī)范的安全系數(shù)取值表

1 傳遞系數(shù)法的計算表達(dá)式

顯式解法和隱式解法的推力表達(dá)式如式(1)和式(2)所示， 顯式解法把安全系數(shù)放在下滑力處，使下滑力增加Kx倍；隱式解是把安全系數(shù)放在抗滑力處，使抗滑力減小Ky倍。

顯式解(增大下滑力法)：

Ti=KxWisinαi+ψTi-1-(Wicosαitanφi+cili)

(1)

其中，傳遞系數(shù)ψ=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tanφi

隱式解(強度折減法)：

(2)

其中，傳遞系數(shù)ψ=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-α1)tanφi/K

式中：Ti——第i個條塊末端的滑坡推力(kN)；

Kx、Ky——安全系數(shù)；

Wi——第i個條塊滑體的重力(kN)；

αi——第i個條塊所在滑動面的傾角(°)；

αi-1——第i-1個條塊所在滑動面的傾角(°)；

φi——第i個條塊所在滑動面上的內(nèi)摩擦角(°)；

ci——第i個條塊所在滑動面上的單位黏聚力(kPa)；

li——第i個條塊所在滑動面上的長度(m)。

2 傳遞系數(shù)法計算理論分析

本文對直線形和折線形滑面分別進(jìn)行分析，以找出顯式解和隱式解之間的關(guān)系。

2.1 直線型滑面

(1)顯式解與隱式解出口推力比值

當(dāng)滑面為直線時，αi-1-αi=0，條塊的傾角差均為0，滑體可視為整體簡化計算。

傳遞系數(shù)ψ=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tanψi=1，由于不存在分塊，故Ti-1=0，即ψTi-1=0。

則顯式解與隱式解出口推力比值式(1)/式(2)可簡化得：

(3)

當(dāng)安全系數(shù)取同一個K時，顯式解與隱式解出口推力比值等于K。

(2)顯式解與隱式解安全系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

顯示解法和隱式解法相匹配的前提前件是使兩種方法求解的出口推力相等，即：

(4)

整理方程，得

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Kx——顯式解安全系數(shù);

Ky——隱式解安全系數(shù);

Kw——滑體當(dāng)前穩(wěn)定系數(shù)，Kw=(Ntanφi+cili)/T。

式(6)、式(7)和式(8)即為顯式解和隱式解的對應(yīng)關(guān)系，3個公式等效。由式(6)可知，Kx、Ky的關(guān)系與邊坡當(dāng)前的穩(wěn)定系數(shù)Kw有關(guān)，不同穩(wěn)定系數(shù)的邊坡其對應(yīng)關(guān)系均不相同。而之前的研究基本上都忽略了這個因素，只通過單純研究Kx、Ky之間的聯(lián)系，以期得到單一直接的對應(yīng)關(guān)系，故而未取得實質(zhì)性進(jìn)展。計算Kx、Ky、Kw對應(yīng)關(guān)系，如表3所示。

表3 Kx、Ky、Kw對應(yīng)關(guān)系表

注：設(shè)計中安全系數(shù)取值需大于穩(wěn)定系數(shù)，才可以算出剩余下滑力，故表中空格不列數(shù)據(jù)

表中第一行為穩(wěn)定系數(shù)，第一列為顯式解安全系數(shù)，中部為某個穩(wěn)定系數(shù)下，與顯式解安全系數(shù)對應(yīng)的隱式解安全系數(shù)，這些均為設(shè)計中常見的系數(shù)。通過邊坡穩(wěn)定分析軟件計算表中對應(yīng)顯式解與隱式解安全系數(shù)的滑坡出口推力，結(jié)果表明兩者計算出的出口推力結(jié)果完全相等。這說明直線滑面時，表3中的對應(yīng)關(guān)系是正確的，同時也驗證了式(6)～式(8)的正確性。

在實際設(shè)計中，通常假定滑坡穩(wěn)定系數(shù)Kw=1.0，通過反算得到滑面c、φ值，然后指定安全系數(shù)計算滑坡推力，此時，可采用表4中隱式解與顯示解安全系數(shù)的對應(yīng)數(shù)據(jù)。若穩(wěn)定系數(shù)不等于1.0，則建議采用表3進(jìn)行內(nèi)插或采用式(6)～式(8)進(jìn)行計算來求得對應(yīng)的隱式解與顯式解安全系數(shù)。

表4 Kx、Ky對應(yīng)關(guān)系表(穩(wěn)定系數(shù)等于1.0時)

(3) 滑體中部顯式解與隱式解的推力關(guān)系

對于直線型滑面，取對應(yīng)的顯式解與隱式解安全系數(shù)，使兩者的出口推力相等。當(dāng)c=0時，滑體中部的隱式解推力仍等于顯式解，推力曲線完全重合。當(dāng)c>0時，滑體中部的隱式解推力小于顯式解推力，隱式解推力曲線低于顯式解推力曲線，如圖1所示。

圖1 某邊坡顯式解和隱式解的推力曲線圖

2.2 折線型滑面

當(dāng)滑面為折線型時，由于需考慮滑塊間力的傳遞，得出簡明直觀的顯式解和隱式解安全系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系表達(dá)式難度較大，本文尚未解決這一問題。但通過大量驗算，總結(jié)規(guī)律如下：

(1)對于折線型滑面，對應(yīng)關(guān)系式以下式表達(dá)：

(9)

式中：β——折減系數(shù)，取值0.97～1.0。

折減系數(shù)取值與滑面形態(tài)、滑坡當(dāng)前穩(wěn)定性、安全系數(shù)取值等因素有關(guān)。通常當(dāng)滑面弧度越大、滑坡當(dāng)前穩(wěn)定系數(shù)越大、安全系數(shù)取值越大時，采用的折減系數(shù)越小。

(2) 當(dāng)顯式解與隱式解安全系數(shù)取值相同時，顯式解與隱式解出口推力的關(guān)系如下：

①當(dāng)安全系數(shù)為1時，顯式解和隱式解的表達(dá)式完全相同，兩者計算得出的滑體各點推力均相等。

②當(dāng)安全系數(shù)小于1時，顯式解的推力計算值小于隱式解計算值，兩者比值大于安全系數(shù)。但實際設(shè)計時安全系數(shù)不會小于1，因此此解無實際意義。

③當(dāng)安全系數(shù)大于1時，顯式解的推力計算值大于隱式解，兩者推力比值一般小于安全系數(shù)。滑面越直，顯式解與隱式解的出口推力比值越大，越接近指定的安全系數(shù)，當(dāng)滑面為直線時，兩者比值等于指定安全系數(shù)。

(3)當(dāng)顯式解與隱式解取不同的安全系數(shù)，使兩者的出口推力相等時，滑體中部的隱式解推力小于顯式解推力。

3 結(jié)束語

本文通過理論分析和大量計算，對邊坡穩(wěn)定性分析中傳遞系數(shù)法顯式解和穩(wěn)式解安全系數(shù)對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了研究，總結(jié)出了一些規(guī)律，對邊坡設(shè)計有一定指導(dǎo)意義，建議規(guī)范轉(zhuǎn)軌或?qū)嶋H設(shè)計時可采納以下意見：

(1)對于直線型滑面，精確的安全系數(shù)對應(yīng)關(guān)系值。應(yīng)參考表3或式(6)～式(8)，并結(jié)合滑體當(dāng)前穩(wěn)定系數(shù)選取或計算。

(2)對于折線型滑面，隱式解安全系數(shù)取值可在式(7)基礎(chǔ)上進(jìn)行折減，即按式(9)計算。折減系數(shù)取值0.97～1.0，折減幅度與滑面形態(tài)、滑坡當(dāng)前穩(wěn)定性、滑面抗剪強度取值、安全系數(shù)取值等因素有關(guān)。通常滑面弧度、滑坡當(dāng)前穩(wěn)定系數(shù)、安全系數(shù)取值越大時需采用的折減幅度越大。

(3)強度折減法數(shù)值分析時，可采用計算出的隱式解安全系數(shù)進(jìn)行分析。

(4)顯式解的安全系數(shù)取值為1.05～1.25時，其隱式解的建議取值為：直線型滑面取1.05～1.35；折線形滑面取1.05～1.35，并進(jìn)行折減，折減系數(shù)0.97～1.0，中間值可按式(9)計算。