關于除數是分數或者小數除法的一個注

（東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024）

小數除法與分數除法是小學數學教學的重點和難點，現行的幾套小學數學教材都是先講小數除法，后講分數除法.因為教材的編寫者認為，小數與整數在形式上更相似，因此更便于學生理解和掌握.可是，如何把相似變為算法呢？于是創造出一個“商不變”原理：除數和被除數同時乘一個整數商不變；然后以整數除法的數值計算為例，說明這個原理正確；最后把這個原理用到小數除法，把分子和分母中的小數同時變為整數，得到小數除法的算法.比如，

可是，為什么以整數為例得到的結論對小數也成立呢？這樣的原理如何用到分數的除法呢？特別是，這樣的教學沒有解決更為基本的問題，就是小數的乘法的運算，為什么可以移動小數點呢？比如，

的道理是什么呢？因此，這樣的關于小數的乘法運算與除法運算不是一致的，很難讓學生感悟數學的運算是有邏輯的，似乎會感覺到數學的各種運算是相互獨立的.

因此，可以先講分數乘法和除法再講小數乘法和除法，這就需要把小數寫成十進制的分數，比如，在“分子分母分別相乘”的分數乘法運算的基礎上，進行小數乘法的教學這就是小數乘法的算理，在這個基礎上得到小數乘法的算法：小數點后面的位數的個數相加.同樣，對于小數的除法，也可以在“除以一個分數等于乘以這個分數的倒數”的基礎上進行，運算過程等價于分子分母同時擴大基于10的進制，這是“商不變”的特例，小數除法只需要這個特例.特別是，在這樣的運算中可以讓學生真正理解小數也是十進制的.

但是，這樣的教學還是就事論事，沒有顧及數學計算的一致性.對于現在討論的問題，需要注意兩個一致：乘法除法運算一致；整數、小數、分數運算一致.乘法除法運算一致是因為除法是乘法的逆運算，表達為

其中a表示除法運算得到的商.因為等式兩邊同時乘以一個數等號不變，所以可以得到

這就是商不變的道理（在這個意義上，在進行加法和減法的教學中，也應當關注減法是加法的逆運算，一方面可以作為乘法和除法運算的鋪墊，另一方面可以體現數學運算的一致性）.在教學過程中，應當把上述關系反過來；并且先從整數開始，然后過渡到分數或者小數，比如

在右邊等式的兩邊同時乘以1/4，得到

知道除以一個整數等價于乘以這個整數的倒數（最后一個式子就是可以用分數表示除法的緣由）.然后再過渡到除數是分數的除法

也可以過渡到除數是小數的除法

其中，中間的式子等價于把0.5擴大10倍再縮小10倍，這就是移動小數點的緣由.然后再把這樣的算法擴充到更一般的分數或者小數的除法.