導(dǎo)數(shù)——高考函數(shù)問(wèn)題的指揮棒

孫海峰

摘 要：導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)有力工具，在高中階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，有利于學(xué)生更好地掌握函數(shù)，理解函數(shù)的性質(zhì)，所以在解決很多高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要利用導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)化簡(jiǎn)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);單調(diào)性;極值

函數(shù)y=f（x）在x0處的瞬時(shí)變化如果當(dāng)Δx→0時(shí)們就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f ′（x），即f ′（x。如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f ′（x），這樣就在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這一新函數(shù)叫做f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f ′（x），即f ′（x數(shù)也稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f ′（x）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0[x，f（x0）]點(diǎn)的切線斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率）。

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的一個(gè)重要的性質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性又是研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)需要特別注意的。我們通常用定義來(lái)判斷。但是當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式相對(duì)比較復(fù)雜時(shí)，判斷f（x1）-f（x2）的正負(fù)比較困難。這時(shí)我們就可以運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，只需考慮到f ′（x）的正負(fù)即可，當(dāng)f ′（x）>0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)f ′（x）<0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減。所以說(shuō)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判別函數(shù)的單調(diào)性比運(yùn)用定義法判別更輕松，更簡(jiǎn)便，可以省去很多的繁瑣步驟，而且更能明顯地刻畫出函數(shù)的多種性質(zhì)，方便下面的研究做題。所以說(shuō)此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣。

例一：設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx。證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。（2015全國(guó)高考卷）

解：f ′（x）=m（emx-1）+2x

若m≥0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1≤0，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1≥0，f ′（x）>0;

若m<0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1>0，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1<0，f ′（x）>0;

所以，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

二、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值及在指定區(qū)間內(nèi)的極值

求參變量的取值范圍是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，有不少求參變量取值范圍的問(wèn)題依靠傳統(tǒng)的方法不容易解決，但是借助求導(dǎo)的方法確是一種很有效的解決途徑。當(dāng)需要求指定區(qū)間內(nèi)的極值時(shí)，我們需要先求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)求出函數(shù)的極值，特殊情況下，需要先構(gòu)造新的函數(shù)，然后根據(jù)構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間接求出原函數(shù)的極值。當(dāng)求出極值之后，我們可以根據(jù)極值以及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的取值情況來(lái)判別函數(shù)的最值問(wèn)題。甚至可以根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性情況來(lái)判斷函數(shù)所經(jīng)過(guò)的象限。常考的題型就是既含有參數(shù)又要討論函數(shù)的極值情況，這個(gè)時(shí)候就要先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也就是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，最后再得到函數(shù)的極值點(diǎn)情況，此類題目難度相對(duì)較大，需要學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)有一定深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也需要學(xué)生有足夠的耐心去尋找各個(gè)變量之間的關(guān)系。

三、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)不等式與數(shù)列證明中的應(yīng)用

不等式是組成數(shù)學(xué)的重要部分。當(dāng)某些不等式不容易被證明時(shí)，可以構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，然后利用構(gòu)造出的新的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，然后再利用單調(diào)性證明，就可以達(dá)到很好的效果，豁然開(kāi)朗。以下兩個(gè)例題是利用導(dǎo)數(shù)法解函數(shù)證明題和函數(shù)與數(shù)列綜合題，此類考題是高考數(shù)學(xué)題中綜合性最強(qiáng)，難度也是最大的題目，通常需要證明其中的變量相等關(guān)系或者不等關(guān)系，這個(gè)時(shí)候需要注意變量與變量之間在區(qū)間里面的關(guān)系，然后再利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。當(dāng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)與數(shù)列的綜合題時(shí)，重點(diǎn)是找出這個(gè)數(shù)列的公比或者公差，進(jìn)而可以求出數(shù)列的通項(xiàng)或者遞推關(guān)系，最后再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。數(shù)列在高考中所占的比例也是很大的，而求解數(shù)列問(wèn)題所用的方法也是有很多種的，所以學(xué)生在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以利用函數(shù)的思想也就是結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)求解數(shù)列會(huì)達(dá)到一種意想不到的效果，往往可以讓很多問(wèn)題明朗化，從而找到解題的思路。

導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要部分，也是解決很多函數(shù)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想。總之，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)不僅可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，也會(huì)發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力，為以后更深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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