間斷有限元求解兩點(diǎn)邊值橢圓問題的超收斂性數(shù)值研究

張作政

(長沙學(xué)院計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410022)

1973年，Reed和Hill[1]首先提出間斷有限元方法求解中子輸運(yùn)方程.之后，用間斷有限元(DG)求解橢圓方程和拋物方程幾乎同時(shí)得到了快速發(fā)展.1997年，Bassi和Rebay[2]提出了一種求解可壓縮Navier-Stokes方程的穩(wěn)定的高階收斂的DG格式.接著Cockburn和Shu提出了局部間斷有限元(LDG)方法[3], 與此同時(shí)，Baumann和Oden[4]引入了一類新的DG方法.Arnold等人建立了基于九種不同數(shù)值通量的DG方法的統(tǒng)一框架[5].

連續(xù)有限元求解兩點(diǎn)邊值橢圓問題時(shí)，已經(jīng)有一些超收斂結(jié)果.Douglas和 Dupont 證明了對于經(jīng)典的P階連續(xù)有限元，在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處有2P階的超收斂[6].Bakker[7-8]分別驗(yàn)證了在 Gauss點(diǎn)處數(shù)值解導(dǎo)數(shù)有P+1階超收斂和數(shù)值解在 Labatto點(diǎn)具有P階超收斂.陳傳淼[9]對連續(xù)有限元求解兩點(diǎn)邊值橢圓問題的超收斂結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)完整的綜述.

對于間斷有限元求解橢圓問題，已經(jīng)得到一些超收斂結(jié)果.Castillo[10]證明了一致且守恒的DG方法，數(shù)值通量在節(jié)點(diǎn)處是準(zhǔn)確成立的，且在Gauss點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的超收斂階為P+1.李璨[11]研究了DG方法求解一維橢圓問題的超收斂現(xiàn)象.后來Larson[12]又證明了，在一致網(wǎng)格下，使用IP-DG方法和NIPG-DG方法在節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值通量均是準(zhǔn)確的.Celiker和Cockburn[13]研究了一類DG方法求解一維對流擴(kuò)散問題的超收斂性質(zhì)，證明了在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處守恒的數(shù)值通量和導(dǎo)數(shù)的通量都有超收斂性質(zhì)，并且對于相應(yīng)的橢圓型方程，數(shù)值通量是準(zhǔn)確的.

本文基于局部間斷有限元(LDG)方法求解兩點(diǎn)邊值問題.數(shù)值上驗(yàn)證了對于md-LDG方法，P+1階的右Radau 點(diǎn)與左Radau 點(diǎn)分別是數(shù)值解U 和導(dǎo)數(shù)Q的P+2階超收斂點(diǎn).對于一致且守恒的間斷有限元法，在數(shù)值解導(dǎo)數(shù)處，P階Gauss點(diǎn)是P+1階的超收斂.

1 間斷有限元方法

考慮Dirichlet邊界條件的一維橢圓兩點(diǎn)邊值問題

(1)

令q=u'，則方程(1)可以寫成等價(jià)的一階方程組

(2)

網(wǎng)格剖分為Ij=[xj-1/2,xj+1/2],j=1,2,...,N.

其中x1/2=0,xN+1/2=1.離散區(qū)間的中點(diǎn)為xj=(xj-1/2,xj+1/2)/2，單元長度hj=|Ij|，最大步長

用試驗(yàn)函數(shù)v和w分別去乘(2)的前兩個(gè)方程，并在每個(gè)單元Ij上分部積分得到

(3)

下面定義DG方法的弱形式.為此先定義間斷有限元空間Vh為

Vh={v:v∈PP(Ij),j=1,2,3,...,N},

其中PP(Ij)表示Ij上次數(shù)不超過P次的多項(xiàng)式集合.則弱形式為求U,Q∈Vh， 使得對任意v,w∈Vh，在每個(gè)單元Ij上滿足

(4)

表1和表2列舉了一些經(jīng)典DG方法的數(shù)值通量取法，表2中的罰參數(shù)α在邊界取為

α(0)=α(1)=p/h.

表1 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的數(shù)值通量

表2 邊界處導(dǎo)數(shù)的數(shù)值通量

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)主要是用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證間斷有限元求解兩點(diǎn)邊值橢圓問題的超收斂性.為簡單起見，在所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，在模型(1)中取f=(2π)2cos(2πx).其中u0=u1=1，準(zhǔn)確解u(x)=cos(2πx).

本節(jié)中所有超收斂結(jié)果對均勻和非均勻網(wǎng)格均成立.非均勻網(wǎng)格按下列方式產(chǎn)生.hi,j代表第i層網(wǎng)格第j個(gè)單元長度.ni為第i層網(wǎng)格單元個(gè)數(shù).第1層網(wǎng)格單元數(shù)n1=4.h1,1=0.4,h1,2=0.1,h1,3=0.1,h1,4=0.4.

從第2層網(wǎng)格開始，按照如下規(guī)則產(chǎn)生：

其中ni=2ni-1.非均勻網(wǎng)格的第1到第5層網(wǎng)格單元分布圖見圖2.1.所有表格中的第1列p代表逼近多項(xiàng)式的階數(shù).第2列表示網(wǎng)格的單元數(shù)，N=3,4,...,7代表有

2N個(gè)單元數(shù).相關(guān)范數(shù)定義為

圖2-圖9展式了數(shù)值解U和導(dǎo)數(shù)Q的誤差曲線圖.圖2，4，6，8中每個(gè)單元里的*代表右Radau多項(xiàng)式的零點(diǎn)，圖.3，5，7，9中每個(gè)單元里的*代表左Radau多項(xiàng)式的零點(diǎn).從圖2-9可以顯然的看到右Radau多項(xiàng)式的零點(diǎn)非常靠近U的誤差曲線的零點(diǎn)，而左Radau多項(xiàng)式的零點(diǎn)非常靠Q的誤差曲線的零點(diǎn).從而數(shù)值上證實(shí)了右Radau點(diǎn)是u的超收斂點(diǎn)，而左Radau點(diǎn)是q的超收斂點(diǎn).

為了進(jìn)一步證實(shí)md-LDG在Radau點(diǎn)的超收斂性質(zhì)，表3和表4分別列舉了在均勻網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格下數(shù)值解U和導(dǎo)數(shù)Q的L2和L誤差收斂階.從表3-4和圖10-13中可以看到在右Radau點(diǎn)和左Radau點(diǎn)都有P+2階的超收斂，相應(yīng)的L2誤差只有P+1階的豐滿階.

對于一致且守恒的間斷有限元具有類似的超收斂結(jié)果，本文只列舉了LDG II 方法相應(yīng)的超收斂數(shù)值結(jié)果.圖14-15分別畫出了LDG II 方法在p=1和p=2時(shí)數(shù)值解導(dǎo)數(shù)Q的誤差曲線圖.圖14-15中的*代表每個(gè)單元的Gauss點(diǎn).從圖14-15中可以觀察到每個(gè)單元的Gauss點(diǎn)非常靠近Q的誤差曲線的零點(diǎn).與表1和表2相似，表5-6列舉LDG II方法類似的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，但其中||u-U||和||q-Q||表示為每個(gè)單元上的Gauss點(diǎn)誤差的L范數(shù).從表5-6中可以看到在Gauss點(diǎn)的L范數(shù)對U和Q都是p+1階，而相應(yīng)的L2范數(shù)對U是p+1階，對Q是p階，故對于LDG II方法每個(gè)單元Gauss點(diǎn)處，不是數(shù)值解U的超收斂點(diǎn)而是數(shù)值解導(dǎo)數(shù)Q的超收斂點(diǎn).

表3 均勻網(wǎng)格下的md-LDG的收斂階

表4 非均勻網(wǎng)格下的md-LDG的收斂階

表5 均勻網(wǎng)格下的LDG II的收斂階

表6 非均勻網(wǎng)格下的LDG II的收斂階

圖1 非均勻網(wǎng)格

圖2 md-LDG均勻網(wǎng)格下U的誤差曲線，p=1

圖3 md-LDG均勻網(wǎng)格下Q的誤差曲線，p=1

圖4 md-LDG均勻網(wǎng)格下U的誤差曲線，p=2

圖5 md-LDG均勻網(wǎng)格下Q的誤差曲線，p=2

圖6 md-LDG均勻網(wǎng)格下U的誤差曲線，p=3

圖7 md-LDG均勻網(wǎng)格下Q的誤差曲線，p=3

圖8 md-LDG均勻網(wǎng)格下在右Radau點(diǎn)的U的誤差收斂曲線，

圖9 md-LDG非均勻網(wǎng)格下在右Radau點(diǎn)的U的誤差收斂曲線，

圖10 md-LDG均勻網(wǎng)格下在左Radau點(diǎn)的Q的誤差收斂曲線

圖11 md-LDG非均勻網(wǎng)格下在左Radau點(diǎn)的Q的誤差收斂曲線

圖12 LDG II均勻網(wǎng)格下Q的誤差曲線， p=1

圖13 LDG II均勻網(wǎng)格下Q的誤差曲線，p=2

圖14 LDG II均勻網(wǎng)格下在Gauss點(diǎn)的Q的誤差收斂曲線

圖15 LDG II 非均勻網(wǎng)格下在Gauss點(diǎn)的Q的誤差收斂曲線

3 結(jié)語

本文從數(shù)值上研究了間斷有限元方法求解一維橢圓問題的超收斂性質(zhì).對于md-LDG方法，P+1階的右Radau 點(diǎn)與左Radau 點(diǎn)分別是數(shù)值解U 和導(dǎo)數(shù)Q的P+2階超收斂點(diǎn).對于其他一致且守恒的間斷有限元法，對于數(shù)值解導(dǎo)數(shù)Q，P階Gauss點(diǎn)是P+1階的超收斂.從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來看，md-LDG方法相比其他的一致且守恒的間斷有限元方法具有更多的超收斂性質(zhì).不同的DG方法不僅可能具有不同的超收斂階，而且可能具有不同類型的超收斂點(diǎn).高維問題的間斷有限元的超收斂性質(zhì)將是下一步研究的方向，另一方面，我們將研究奇異攝動(dòng)微分方程的超收斂性質(zhì).