一類熱傳導方程初邊值問題的高階差分格式

王卉 崔進

摘要：首先對熱方程建立高精度差分格式，其次通過能量方法證明了先驗估計式，從而得到了差分解的收斂性和穩定性，差分解在L意義下收斂階數為O（τ+h），最后通過數值算例驗證了理論分析結果。

關鍵詞：熱方程;差分格式;高階;收斂性;穩定性

中圖分類號：G712? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）42-0202-02

熱方程是一類非常重要的偏微分方程，在物理學、經濟學等領域中有著非常廣泛的應用.對于熱方程的高精度數值解法的研究，許多學者已做出很多成果，其差分方法主要采用空間域三點緊格式，從而獲得高精度的差分解.文獻[1]提出Schr?dinger方程空間域五點緊格式，但邊界點x、x處建立五點離散式時，使用了邊界外的假想點x，x，并令精確值為零，在分析收斂性時，這可能會導致整體收斂階數的降低，如擴散波越過邊界，當邊界點的值為零，而一階導數不為零時，假定假想點值設為零，其截斷誤差為O（τ+h），這將直接導致x、x點離散式的截斷誤差精度的降低，而其他內點截斷誤差為O（τ+h），整體分析收斂階數會降低，這正是文獻[1]所存在的問題.本文在此基礎上考慮建立內點五點離散式和鄰邊界點四點離散式，從而得到熱方程高精度差分格式.

三、數值算例

參考文獻：

[1]張榮培，曹圣山.一類非線性Schr?dinger方程的高精度守恒數值格式[J].高等學校計算數學學報，2007，29（3）：226-235.

[2]孫志忠.偏微分方程數值解法[M].第2版.北京：科學出版社，2012：13-177.