閾值自適應選取的小波包降噪研究

摘?要：基于信號和噪聲的不同特征，提出一種閾值自適應選取的小波包降噪方法。該方法首先對信號進行小波包變換，利用噪聲剩余率確定分解層數，采用對數能量熵選擇最優基，然后采用閾值自適應選取的方法對高頻系數進行分析。利用該方法進行降噪，不僅能夠提高系統的信噪比，而且能夠降低系統的重構誤差。

關鍵詞：小波包變換;閾值自適應選取;信號降噪

實際中的測量信號，不可避免的含有一定的噪聲。噪聲的幅值和頻率達到一定程度，就有可能會淹沒有用信號，使得后續的研究無法進行。因此，對實際觀測的信號進行有效的降噪具有重要的實際意義。[1?3]

在時頻域，小波多分辨率分析具有良好地表征信號局部特征的能力，但其只對信號的低頻系數進行分解，高頻段的頻率分辨率較差，降噪效果不理想。小波包變換是小波變換的進一步擴展，不僅能對高頻系數進一步分解，而且能根據信號特征自適應選擇頻段，因此在信號降噪領域獲得了廣泛地應用。在小波包信號降噪的過程中，分解層數、最優基及閾值的確定比較關鍵，本文根據信號和噪聲的不同表現特征，分別給出了對應的計算公式和選擇規則，具有一定的實用性能。

1 小波包變換原理

假設用u0（t）=φ（t）表示正交小波函數，u1（t）=ψ（t）表示尺度函數，那么其關系可用雙尺度方程表示，如下公式：

u?2n?（t）=2∑k∈Z?hkun（2t-k）

u?2n+1?（t）=2∑k∈Z?gkun（2t-k）（1）

其中，hk，gk表示正交小波多分辨分析的濾波器系數。式（1）所定義的函數集合un（t），n=0，1，2，......即為u0（t）所確定的小波包。

小波包分解是小波分析的進一步擴展，可以對高頻部分精細劃分，從而提高信號的時頻分辨率，對信號的時頻特征進行有效的顯示。

假設實際觀測的信號為：

f（t）=s（t）+η（t）（2）

其中，s（t）為原始信號，η（t）為高斯白噪聲。

令P10=f（t），那么經過小波包分解變換后的近似系數和細節系數可以表示為：

近似系數：p?2i-1?j（t）=Hpi?j-1?（t）

細節系數：p?2i?j（t）=Gpi?j-1?（t）（3）

其中，H和G分別表示低通濾波器和高通濾波器，pij表示第j層小波包分解得到的第i個小波包。

小波包分解能夠為信號分析提供更詳細的信息，若要得到某一層的小波信號，需要對小波包進行重構，重構公式如下：

pij（t）=H*p?2i-1j+1?（t）+G*p?2ij+1?（t）（4）

其中，H*和G*分別為H和G對偶算子。

通過以上分析可以看出，小波包分解能夠保留信號不同頻率段的成分，并對高頻信號進一步分解，在提高高頻部分頻域分辨率的同時，保證了信息的完整。

2 閾值自適應選取的小波包信號降噪

小波包能夠對變換后每一層的低頻和高頻部分進行細分，局部刻畫能力更加精確，因此可以對觀測信號進行有效的降噪。利用小波包分析對信號進行降噪，可以分為四步：

Step1：選擇正交小波包，對觀測信號進行 J層分解。

Step2：基于給定的熵標準計算最佳樹。

Step3：選擇合適的閾值對每一層的小波分解系數進行量化。

Step4：根據小波包分解近似系數和閾值量化分析后的高頻系數重構降噪信號。

在以上降噪過程中，小波分解層數的確定、小波基的選擇、閾值函數的選取都能不同程度的影響降噪效果。針對每一個環節，本文進行了具體的分析。

首先，根據小波包變換后各個分解層重構近似信號的噪聲剩余率確定最佳分解層數。

設第j層小波包分解近似信號為p0j，j=1，2，3，……，J，各層分解近似信號的平均值為AvgP=∑p0j/J，那么各個分解層的噪聲剩余率可以表示為：

ηj=p0j-AvgPf-Avgp×100%（5）

通過分析，當噪聲剩余率最小時，分解層數達到最佳，降噪效果最好。

其次，最優小波包基的選擇。最優小波包基能夠利用少量的數據表征盡可能多的信息，一般通過定義使得相應的信息代價函數最小進行選擇。由于信號和噪聲的能量差別較大，本文以對數能量熵作為代價函數，其定義如下：

E（pi?jk?）=log（pi?jk?）?2（6）

其中，E（0）=0，E（pij）=∑pij。熵值反映了狀態的均勻程度，值越小，狀態越不均勻。最優基的選擇能夠保證信息損失最少。

在小波包降噪的過程中，最重要的環節是閾值的選取和量化。如果采用同一閾值對系數進行選取，當分解層數較小時，包含的噪聲較多，當分解層數較大時，會將有用的低頻信息去掉。為了克服上述弊端，本文采用閾值自適應選取的方法對各個分解層的高頻細節系數進行分析。自適應閾值選取公式如下：

wj=σj2log（N）/j（7）

其中，N為信號的長度，σj為信號在各個尺度上的方差。

觀測信號經過小波包變換后，高頻系數的能量隨著分解層數的增加逐漸減小，和自適應選取的閾值變化趨勢相同，因此自適應選取的閾值能夠很好的對高頻系數中的有用信息進行提取，在保證信息完整的同時，提高降噪的性能。

3 結論

為了提高實際觀測信號的降噪效果，本文提出了一種基于小波包的信號降噪方法。該方法以信號和噪聲不同表現特征為依據，對小波包的降噪過程進行了具體的分析，不僅給出了最佳分解層數和最優小波包基的選擇方法，而且給出了自適應閾值選取的改進公式。該方法具有一定的實用性，能夠對實際觀測信號進行有效的降噪。

參考文獻：

[1]Molaie M，Jafari S，Moradi M H，et al.A chaotic viewpoint on noise reduction from respiratorysounds[J].Biomedical Signal Processing and Control，2014，10：45?249.

[2]劉云俠，劉培超，初振云，王克生.一種改進的模極大值混沌信號降噪方法.山東科技大學學報，2016，35（5）：14?120.

[3]劉云俠，王克生.混沌信號降噪算法評價準則研究.教育現代化，2016（31）：194?195.