有限域上幾類置換和完全置換*

查正邦, 胡 磊

1.洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院河南省大數(shù)據(jù)處理與分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 洛陽(yáng)471934

2.中國(guó)科學(xué)院信息工程研究所信息安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京100093

3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院, 北京100049

完全置換多項(xiàng)式專欄

1 引言

設(shè)p為素?cái)?shù),n為正整數(shù), Fpn表示含有pn個(gè)元素的有限域.定義在有限域上的映射都可以表示成一個(gè)單變量或多變量的多項(xiàng)式函數(shù).令f(x) 表示映射f: Fpn?→Fpn.若f(x) 是一個(gè)一一映射, 則稱f(x) 是 Fpn上的置換多項(xiàng)式.置換多項(xiàng)式是有限域的重要理論和工具, 它在數(shù)學(xué)理論和工程應(yīng)用等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用.關(guān)于置換多項(xiàng)式的研究進(jìn)展, 請(qǐng)參考文獻(xiàn) [1–10].若f(x) 和f(x)+x均為 Fpn上的置換多項(xiàng)式, 則稱f(x) 是Fpn上的完全置換[11].完全置換的復(fù)合逆仍為完全置換, 由于它特殊的置換性質(zhì), 完全置換逐漸成為密碼學(xué)、編碼理論、組合設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.

1942 年, Mann 首次給出了完全置換的定義并將其用于構(gòu)造正交拉丁方[11].Niederreiter 和Robinson[12]進(jìn)一步研究了有限域上的完全置換, 分析了它們?cè)诿艽a學(xué)中的應(yīng)用.受此影響, 有限域上的完全置換在密碼算法設(shè)計(jì)中被充分應(yīng)用.由于缺乏有效的完全置換判定法則, 已知的完全置換較少.為了滿足密碼算法設(shè)計(jì)、編碼設(shè)計(jì)和組合設(shè)計(jì)的研究需要, 國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼開展了有限域特別是偶特征有限域上的完全置換的構(gòu)造和應(yīng)用研究.Laigle-Chapuy 構(gòu)造了新的完全置換, 并給出了他們?cè)诰幋a理論中的應(yīng)用[13].Charpin 和 Kyureghyan 利用完全置換設(shè)計(jì)了新的 Bent 函數(shù)[14].Tu、Zeng 和 Hu 通過(guò)確定有限域……