有趣的1 2 和 2 3

劉金龍

數學的趣味有時候在于它看起來像是這么一回事，實際上卻是另一回事。不動動腦筋，可別想一下就答對。不信，我們就和這兩位小伙伴一起做做游戲，體味其中的奧妙吧！

球的顏色

周末，張宇去找李晨玩，他將三個一模一樣的盒子擺開，往三個盒子里分別放入了兩個球。一個盒子里放入兩個黃球，一個盒子里放入兩個白球，一個盒子里放入黃球和白球各一個。

“這是要干什么？抽獎嗎？”李晨好奇地問。

“等一下你就知道了。你轉過身去，等我打亂盒子的擺放順序后，你再轉過來。”張宇煞有介事地說。

待李晨轉身后，張宇調整了盒子的擺放順序。

“準備工作完畢，你可以轉過來了！”張宇指著三個盒子說，“現在請你隨機選擇一個盒子，并隨意從中拿出一個球。”

雖然李晨不知道張宇要做什么，但是還是很配合地取了球。

“黃球！有沒有中獎呀？”李晨打趣地問。

“哈哈，恭喜你，中了一道數學題！”張宇笑著說，“請問這個盒子里的另一個球也是黃色的概率是多少？”

李晨仔細想了想，如果自己從選定的盒子里拿出的球是黃色的，那么說明這個盒子里裝的就不可能是兩個白球，只能是兩個黃球或者一個黃球和一個白球。而裝有兩個黃球的盒子和裝有一個黃球、一個白球的盒子被自己選中的概率是一樣的，各為。所以，他能夠拿到裝有兩個黃球的盒子的概率就是 1 2 。

“1 2 ?！”

“厲害，果然難不倒你！”張宇向李晨豎起了大拇指。

這個概率問題對我來說也是小菜一碟，不過聽說有人得出了2 3 ?的答案。

哈哈，那你得問問他是怎么得到這個答案的。

課本的分類

張宇出的題目李晨已經解答出來了，這回該輪到李晨給張宇出題了。

李晨將自己存放東西的三個一模一樣的柜子擺放出來，每個柜子都有兩個隔檔，中間用一塊木板隔開。他在第一個柜子的兩個隔檔里各放入一本語文課本，在第二個柜子的兩個隔檔里各放入一本數學課本，在第三個柜子的兩個隔檔里分別放入了一本語文課本和一本數學課本。為了便于張宇思考，李晨給課本貼上了標簽，如下圖：

打亂柜子的擺放順序后，李晨讓張宇先從三個柜子里隨意選出一個柜子，再從選中的柜子里隨意打開一個隔檔。

“如果看到的是語文課本，那么在同一個柜子里的另外一個隔檔中放的也是語文課本的概率是多少？”李晨問。

張宇仔細想了想，這個問題和剛才自己給李晨出的題有點像，但絕不會那么簡單。于是，他開始分析。

抽取情況有以下幾種：

所以，當在其中一個柜子的一個隔檔里看到的是語文課本時，這個柜子里的另一個隔檔中同樣也是語文課本的概率是2 3。

“2 3 ?。”張宇自信地報出答案。

“看來你也很強，本以為你會被誤導呢！”李晨說道。

概率之異

這兩個問題乍一看很像，其實它們是不同的。

張宇提出的問題強調的是盒子的完整性，是先選定盒子后才能分析盒子中球的顏色。這就是說，選定了一個盒子，不知道里面是什么顏色的球，直到摸出一顆黃色的球，我們才獲得了這個條件的限制，那么這個盒子要么是“黃球+白球”，要么是“黃球+黃球”，但一定不是“白球+白球”。如果是“黃球+黃球”，則滿足了另一個球也是黃色的條件;如果是“黃球+白球”，則不滿足條件。因此，概率為 1 2 。

李晨提出的問題強調的是課本的特性，跳過放課本的柜子直接分析柜子中課本的類別。這就是說，在選定的柜子里，“其中一個隔檔里放的是語文課本”是一個限制條件，但是沒有說明在哪一個隔檔，打開的有可能是隔檔1，也可能是隔檔2。也就說，當打開一個隔檔看到語文課本時，有三種情況：“語文課本（隔檔1打開）+語文課本（隔檔2關閉）”“語文課本（隔檔2打開）+語文課本（隔檔1關閉）”“語文課本（隔檔打開）+數學課本（隔檔關閉）”。如果是前兩種情況，則滿足了另一個隔檔里也放著語文課本的條件;如果是“語文課本（隔檔打開）+數學課本（隔檔關閉）”，則不滿足條件。因此，概率為 2 3。