密度線性方程式的理論誤差探析

陳一軍，成剛虎

(西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安 710048)

密度線性方程式[1-2]，包括蒙版方程和灰平衡方程，也被稱為彩色復(fù)制方程[1-4]，是重要的色彩平衡分析模型和工具，在印刷工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。前者作為電子分色、制版修色、以及專色油墨配置[5-8]的理論基礎(chǔ)，支撐著密度體系下的印前工藝；后者作為印刷質(zhì)量分析中不可或缺的工具[9-17]，在過程控制中發(fā)揮著獨(dú)特作用。

但是，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常出現(xiàn)與密度線性方程不相符合的現(xiàn)象[1-2]。隨著印刷質(zhì)量需求的不斷提升，密度線性平衡方程存在的問題逐漸凸顯出來。

針對密度線性方程在應(yīng)用中出現(xiàn)的問題，業(yè)界一直在不斷尋求著產(chǎn)生誤差的工程原因和改善途徑[6,12]。1953年，美國學(xué)者Evans曾建議方程組中加入常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行修正。1962年另一位美國學(xué)者Pobboravsky提出了一組高階非線性方程組，以求提高密度平衡分析求解精度[1-3]。直至近年來，國內(nèi)外學(xué)者依然進(jìn)行著探索分析[8,16-17]。這些研究有的針對配色精度問題進(jìn)行了蒙版方程應(yīng)用分析和模型改進(jìn)[5-6,18-19]，有的針對灰平衡控制進(jìn)行了密度線性方程的應(yīng)用研究[9-12]、誤差分析[13-16]和改良探索[16-17]。

不可否認(rèn)的是：這些研究都一定程度上提高了密度線性方程特定條件下的應(yīng)用精度[5-6,16-17]，但究其本質(zhì)都是改良性的，受制于固有的認(rèn)識局限，很少有人對其理論基礎(chǔ)提出過質(zhì)疑。因此，雖然某些場合應(yīng)用誤差得到控制，也注定是很有限的。

其實(shí)，密度的可加性與比例性失效問題，早已得到關(guān)注，并長期出現(xiàn)在教科書中[1-3]。但是，之所以會產(chǎn)生失效問題，究竟是因?yàn)閷?shí)際印刷(包括實(shí)驗(yàn))中印刷材料的不理想造成的？還是模型的科學(xué)性存在瑕疵引起的？這些問題一直懸而未決。遺憾的是，這些問題卻并未引起業(yè)界足夠的應(yīng)有重視。鑒于此，在前期研究[20-22]的基礎(chǔ)上，作者開展了本文的理論探索分析。

1 密度線性方程式的發(fā)展演變及其理論基礎(chǔ)

密度是一個光學(xué)概念，被定義為透射(或反射)率的倒數(shù)的對數(shù)[1-3]，用以度量材料吸收光輻射的程度。

1.1 密度平衡方程式的發(fā)展演變

密度平衡方程式伴隨著印刷技術(shù)的發(fā)展而產(chǎn)生，根據(jù)不同的應(yīng)用場合而具有不同的形式，但是其本質(zhì)都一樣。照相蒙版方程的發(fā)展?jié)u進(jìn)過程就是密度平衡方程式的發(fā)展歷程。

伴隨早期的照相制版工藝?yán)碚摚a(chǎn)生了第一代照相蒙版模型。

在這個模型中，紙張和油墨都是理想化的。即假定紙張不產(chǎn)生光吸收，而油墨具有理論上的選擇性吸收特性。那么，原稿紅、綠、藍(lán)三色密度DR、DG、DB即為青、品、黃三色油墨主密度C、M、Y。

亦即：

(1)

顯然，依據(jù)這樣的關(guān)系進(jìn)行分色制版會造成很大的誤差，因?yàn)闆]有考慮油墨的不純潔性。于是，考慮實(shí)際油墨的選擇性吸收不足以及不應(yīng)有吸收的情況，就需要尋求新的蒙版模型。

分析可知，因?yàn)椴捎脤?shí)際油墨進(jìn)行印刷，獲得的印刷稿上，每種單色油墨除了不盡吸收其互補(bǔ)色光線之外，還有對應(yīng)的不應(yīng)有吸收。因此，蒙版分色時，原稿的分色密度(即蒙版密度)除了含有主密度外，還應(yīng)該考慮兩個副次密度的貢獻(xiàn)。也就是說，在蒙版方程(1)中，需要計入另外兩種油墨的副次密度的作用。那么，究竟應(yīng)該如何考慮副次密度的影響呢？

因?yàn)槊芏缺徽J(rèn)為并且被證明是可加的，于是，“根據(jù)密度相加原理，三色油墨疊印的合成密度等于各單色密度之和”。與此同時，為簡化計算，引入了密度的比例性設(shè)定，即假設(shè)密度具有比例性特征。于是就產(chǎn)生了蒙版方程[1—4]：

(2)

式中：cG、cB、mR、mB、yR、yG分別代表各色油墨副次密度與主密度的比例系數(shù)。

顯然，式(2)是一個線性化密度平衡方程式，其一般通用式[1-4]為：

(3)

式中：ψY、ψM、ψC分別代表黃、品、青三原色油墨印刷匹配給定色密度時所需的各色油墨比例；DYB、DMB、DCB分別代表藍(lán)濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DYG、DMG、DCG分別代表綠濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DYR、DMR、DCR分別代表紅濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DR、DG、DB分別代表紅、綠、藍(lán)濾色片下待配色塊的密度。

只要將式(3)的右邊替換成不同等級的中性灰分色密度DZR、DZG、DZB，就變成了灰平衡方程[1-3]。

1.2 密度線性方程式的理論基礎(chǔ)分析

有了密度線性平衡方程，進(jìn)行色彩分析，就有了理論依據(jù)[1,4]。而且，線性化處理之后，可操作性更強(qiáng)，也方便了工程應(yīng)用。因此，一定意義上講，在印刷工程由模擬(照相制版和主觀分析)階段走向數(shù)字化分析處理進(jìn)程中，也發(fā)揮了積極作用。

但是，在密度線性方程式(3)中，密度的可加性與比例性是其核心技術(shù)支撐[1-4]。如果沒有可加性支持，線性化平衡方程根本建立不起來。缺乏了比例性限定，雖然是線性方程，就會增加方程的求解復(fù)雜性，從而失去工程應(yīng)用價值。

2 密度線性方程式的理論局限性分析

密度線性方程式之所以存在理論局限性，一方面是因?yàn)樵谄浣⑦^程中憑借的密度可加性存在瑕疵，另一方面是因?yàn)闉楸阌诠こ虘?yīng)用而強(qiáng)加的密度比例性設(shè)定存在原始誤差。盡管目前國內(nèi)所有的色彩學(xué)教科書都引用了可加性的證明過程[1-3]，表面看來似乎沒有問題。但是，仔細(xì)研究可知，其理論依據(jù)還是存在問題的。

2.1 密度可加性及其理論依據(jù)

見圖1，光通量為φ的光線通過兩層物質(zhì)后的合成透射率τ和合成密度值Dτ為：

(4)

圖1 多層疊合密度示意圖[1]

以此類推，三色印刷時，有：

(5)

此乃密度的可加性及其理論依據(jù)。

據(jù)此，印刷行業(yè)就認(rèn)為：“三色油墨疊印的合成密度等于各單色密度之和”[1-2]。

2.2 密度可加性的分析研判

盡管上述理論推導(dǎo)過程無可厚非，但是，一旦與其工程背景相結(jié)合，就會發(fā)現(xiàn)，密度可加性不具有一般意義，一旦被泛化，必然會因?yàn)闂l件不對稱而引發(fā)數(shù)學(xué)邏輯問題和物理支持問題。

同樣，密度的比例性設(shè)定也不合理，隱含了明顯的邏輯錯誤，違背了光的可加性原理。

2.2.1密度可加性不符合數(shù)理邏輯

我們知道，半調(diào)印刷時，網(wǎng)點(diǎn)關(guān)系結(jié)構(gòu)微觀上有兩種狀態(tài)，即“網(wǎng)點(diǎn)并列”與“網(wǎng)點(diǎn)重疊”[2-3]。盡管對于各層油墨完全疊合時，方程(4)和(5)似乎成立，但是，僅僅依靠網(wǎng)點(diǎn)重疊(實(shí)地狀態(tài))時的可加性，并不能證明一般狀態(tài)下的可加性。

在既有“網(wǎng)點(diǎn)并列”也有“網(wǎng)點(diǎn)重疊”的一般情況下，區(qū)域密度是兩種情況的合成，而區(qū)域密度的形成機(jī)理較單一狀態(tài)的合成要復(fù)雜一些[21-22]。

這里以雙色疊印為例進(jìn)行簡化分析。面積率分別為a和b的兩色版疊印，網(wǎng)點(diǎn)重疊面積率為c，那么空白區(qū)域面積率即為1-a-b+c，其網(wǎng)目調(diào)微觀結(jié)構(gòu)模型見圖2。

圖2 雙色疊印的微觀結(jié)構(gòu)模型(不同區(qū)域面積率關(guān)系)

如果認(rèn)為紙張是理想化的，不吸收光線，即沒有密度，那么，網(wǎng)點(diǎn)密度與實(shí)地密度的關(guān)系可以根據(jù)Murray-Davis公式[1-3,20]取得。

第一色單獨(dú)印刷時，有：

(1-a)+a10-Ds1=10-Dτ1

(6)

第二色單色印刷時，有：

(1-b)+b10-Ds2=10-Dτ2

(7)

兩色疊印后，依據(jù)色光加色法，可以推知：

(1-a-b+c)+(a-c)10-Ds1+(b-c)10-Ds2+c10-Ds12=10-Dτ

(8)

如果計入紙張影響，即為：

(1-a-b+c)10-D0+(a-c)10-Ds1+(b-c)10-Ds2+c10-Ds1=10-Dτ

(9)

式中：D0、Ds1、Ds2和Ds12分別表示紙白、第一色、第二色以及疊印色的實(shí)地密度；而Dτ即為兩色疊印色網(wǎng)點(diǎn)密度。

從式(8)～(9)可以看出: 無論是完全網(wǎng)點(diǎn)重疊(即a=b=c)，或是兩色網(wǎng)點(diǎn)完全并列(c=0)，還是既有網(wǎng)點(diǎn)重疊又有網(wǎng)點(diǎn)并列的一般情況，只要不是兩色都是實(shí)地，那么，即使Ds1+Ds2=Ds12，一般情況下也不存在Dτ1+Dτ2=Dτ。

也就是說，線性可加性不具有一般性。即使實(shí)地條件下滿足密度可加性，網(wǎng)點(diǎn)密度也不會服從可加性。

另外，從式(9)可以看出，可加性設(shè)定引起的計算誤差，不但與紙張?zhí)匦杂嘘P(guān)，也與網(wǎng)點(diǎn)大小有關(guān)，還與決定疊印網(wǎng)點(diǎn)相對關(guān)系的加網(wǎng)參數(shù)有關(guān)。

2.2.2密度可加性偏離了共同的物理基礎(chǔ)

密度是光學(xué)概念[1-2]，應(yīng)用于具體的工程實(shí)際時，為了使測量結(jié)果具有一致性和可比性，總是要設(shè)定相應(yīng)的物理?xiàng)l件。在印刷行業(yè)，實(shí)用中，一般是以標(biāo)準(zhǔn)光源及其標(biāo)準(zhǔn)照射條件、測量環(huán)境為限定條件的[1-2,18,22]。

為什么被嚴(yán)格證明了的式(4)，與印刷實(shí)際不相符合呢？

其根本原因在于，油墨具有選擇性吸收特性，油墨反射密度既具有光譜依賴性，也具有光強(qiáng)依賴性，隨光譜成分的改變而改變，也隨光源照射強(qiáng)度的改變而改變。

在多層油墨疊合[1,3-4]呈色機(jī)制中，各層油墨吸收光線的光譜范圍和光強(qiáng)是依次遞減的。當(dāng)光線照射在墨層上時，首層油墨最先進(jìn)行選擇性吸收，接著才能依次透射給下面各層油墨。但是，光線經(jīng)首層墨層吸收后，其光譜成分與光強(qiáng)都減小了。也就是說，第二層油墨的入射條件已經(jīng)變化了。同樣，第三層墨層的光照頻譜范圍更小了，光照強(qiáng)度更弱了。因此。除首層油墨外，其余各層油墨的實(shí)際入射條件都與首層大不相同了，其實(shí)際阻光系數(shù)、或者透光系數(shù)減小了，已經(jīng)與首層油墨沒有可比性，因此其有效密度并沒有單獨(dú)測量時那么大。因此，才會出現(xiàn)“實(shí)際印刷中，幾種油墨疊印時，用同一濾色片測得的疊印色塊的密度值往往明顯比各單色油墨密度值之和要小”[1]的情況。

在式(4)的證明中，Dτ1與Dτ2根本不具有物理意義上的可比性。因?yàn)閮烧叩恼丈錀l件發(fā)生了變化[19]。嚴(yán)格意義上講，此時的Dτ2已不再是標(biāo)準(zhǔn)條件下的密度了，而是另一種照射條件下的“密度”值。這種情況下，如果要利用這種所謂的可加性，就必須附以不同照射條件下的“密度”值。這顯然是不現(xiàn)實(shí)的。一是我們根本就不可能精確模擬出變化萬千的照射條件；二是即使可做到精確模擬測量，那么需要積累的不同條件下的“密度”值數(shù)量龐大，可操作性極其有限。

綜上分析，在進(jìn)行可加性證明的邏輯分析中，忽視了其物理基礎(chǔ)的不一致性。如果承認(rèn)這種所謂的可加性，必然會造成理論誤差。

2.2.3密度可加性固有理論問題的旁論佐證

其實(shí)，在印刷領(lǐng)域，幾個常識性現(xiàn)象和相關(guān)結(jié)論也佐證了可加性存在理論問題。

1)印刷色序的不同，呈色效果會產(chǎn)生較大差異[2]。除了首層反射影響外，可加性失效也是其中重要因素。因此，人們不得不通過認(rèn)真分析進(jìn)行色序設(shè)計。

2)網(wǎng)點(diǎn)并列與網(wǎng)點(diǎn)重疊不具有同樣的呈色效果[1-2,21-22]，因此，才出現(xiàn)了復(fù)雜的印刷呈色模型——Neugebauer方程，同時，人們才不得不重視加網(wǎng)對印刷呈色的影響[7]。

3)即使是理想的條件，密度也不服從可加性。比如，理想的青墨和品墨實(shí)地疊印得到理想的藍(lán)色實(shí)地塊。但是，顯然其密度并不符合可加性，即lg1.5+ lg1.5并不等于lg3；可見，那種認(rèn)為理想條件下可加性無可厚非[2]的認(rèn)識是存在錯覺的。

4)線性化的Lambert-Beer方程在印刷領(lǐng)域是不成立的。之所以如此，其實(shí)正是因?yàn)槊芏炔痪哂芯€性可加性所致。因?yàn)椋绻脝紊“?采用相同油墨)在紙張上印兩次，就得到了厚度加倍的印刷樣張。假定紙張是理想的，那么，按照可加性，樣張上色塊的密度就應(yīng)該翻倍。可是，這樣的結(jié)論顯然是荒謬的[1]。這也從側(cè)面告訴我們，密度并不服從可加性。

2.3 密度比例性的邏輯考察

密度比例性的理論誤差主要來源于網(wǎng)點(diǎn)密度與實(shí)地密度之間復(fù)雜的非線性關(guān)系[20]。

2.3.1密度的比例性概念及其內(nèi)涵

所謂的密度的比例性，就是“各單色油墨在印刷網(wǎng)點(diǎn)面積率不同時，用紅、綠、藍(lán)濾色片測得的密度值，相互間保持比例(線性)關(guān)系。或者說，各色油墨副次密度與主密度之比為常數(shù)”[1-2]。

顯然，密度的比例性就是對油墨不純潔現(xiàn)實(shí)性的接受和設(shè)定。對于理想的油墨，其主密度為無窮大，副次密度為0，無比例性可言。

2.3.2密度比例性的理論誤差研究

根據(jù)[5]的研究可知，單一油墨印刷網(wǎng)點(diǎn)面積率為a的色塊，油墨實(shí)地密度為Ds(與之對應(yīng)的反射率為ρs)，空白區(qū)域的面積為1-a，紙張密度D0(對應(yīng)反射率ρ0)，那么，根據(jù)光通量的可加性，網(wǎng)目調(diào)總反射率和主密度[1-2,20]為：

ρ=(1-a)×ρ0+(a×ρs)

(10)

即：

(1-a)10-D0+a10-Ds=10-Dτ

(11)

顯然，這一關(guān)系對于油墨的主、次密度都是成立的。即：

(1-a)10-D01+a10-Ds1=10-Dτ1

(12)

式中：D01、Ds1分別為對應(yīng)的紙張副次密度和油墨實(shí)地塊副次密度。

所謂密度的比例性，在這里就意味著Dτ1與Dτ之比應(yīng)該等于Ds1與Ds之比[1]。但是，根據(jù)式(11)～(12)，不難推出：

(13)

式(13)表明，無論D0是否為0(即無論是否考慮紙張的不純潔性)，理論上講，密度的比例性都是不存在的；而且，網(wǎng)目調(diào)區(qū)域內(nèi)，任一油墨副次密度與主密度之比都是關(guān)于紙張密度的函數(shù)，而且隨面積率a的變化而非線性變化。可見，密度不具有定常比例性。

3 可加性與比例性設(shè)定的誤差分析

密度線性方程式依靠密度可加性而建立，憑借比例性設(shè)定而簡化。上述理論剖析表明，這種密度的線性化處理必然地引入了系統(tǒng)誤差。但是，理論上存在的瑕疵究竟會產(chǎn)生多大的實(shí)際影響呢？這里借助仿真分析方法，僅僅對可加性與比例性設(shè)定所引起的系統(tǒng)誤差及其影響因素進(jìn)行分析考查(其實(shí)驗(yàn)辨析可參看文獻(xiàn)[1])。

3.1 實(shí)驗(yàn)及其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取

對印刷色空間進(jìn)行12級分割，設(shè)計了四色印刷測試版，在方正印捷C1060彩色數(shù)碼印刷機(jī)上進(jìn)行了印刷實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)室測取了相關(guān)數(shù)據(jù)。其中，相關(guān)色樣的印刷實(shí)測平均數(shù)據(jù)見表1。

表1 仿真分析用標(biāo)準(zhǔn)實(shí)地塊的印刷實(shí)測密度

3.2 比例性理論誤差的仿真分析

基于表1標(biāo)準(zhǔn)實(shí)地色塊實(shí)測分光密度數(shù)據(jù)，借助于式(11)～(12)，取得青品黃三色色塊各灰度級的主次密度仿真計算值見表2。

表2 青品黃三色各灰度級的主次密度仿真計算值

基于表2數(shù)據(jù)，依據(jù)式(13)，青品黃三色各灰度級的主次密度之比見圖3。顯然，青品黃三色主次密度都不服從比例性假定。

圖3 青品黃三色主次密度之比變化曲線

3.3 可加性理論誤差的仿真分析

限于篇幅，并為方便計算，這里以線型網(wǎng)[4,22]為例，僅以雙色疊印密度進(jìn)行仿真分析。

依據(jù)表1數(shù)據(jù)，依靠式(9)，取得紅綠藍(lán)三復(fù)色各灰度級主次密度，結(jié)果見表3。其變化規(guī)律見圖9，并將其與各單色相加而得的合成密度進(jìn)行比較。

無論是青品疊印的藍(lán)色、品黃疊印的紅色、還是青黃疊印的綠色，其合成密度都與仿真計算密度存在一定差異。而且差異大小在不同灰度級上表現(xiàn)出不同的量級。

采用不同的油墨、紙張、以及加網(wǎng)參數(shù)，都會取得類似的分析結(jié)果。盡管結(jié)果會有所差異，但是，都能取得相同的結(jié)論。這就是：密度比例性與可加性總是存在著誤差。其差異性體現(xiàn)了理論誤差的可變性與依賴性。

表3 紅綠藍(lán)三色各級密度計算值

圖4 紅綠藍(lán)三色合成主密度與仿真計算密度之比較曲線

4 研究結(jié)論

立足業(yè)界廣泛接受的色光加色法[1-4,20]，本文在不計工藝誤差(工藝過程誤差、測量誤差等)基礎(chǔ)上，僅僅從理論角度考察了密度線性方程式賴以生存的物理基礎(chǔ)，對其應(yīng)用誤差進(jìn)行了理論探究、仿真分析，取得了如下研究結(jié)論。

1)密度雖然具有隨墨層增加同向變化的特性，但是密度可加性在理論上是不存在的。不但缺乏共同的物理基礎(chǔ)支持，而且也不符合數(shù)理邏輯。可加性設(shè)定產(chǎn)生的理論誤差受階調(diào)濃淡層次以及加網(wǎng)參數(shù)的影響。

2)密度的比例性在理論上也是不存在的。受制于紙張的吸收特性、網(wǎng)點(diǎn)面積率的影響，比例性設(shè)定具有變值系統(tǒng)誤差特征。

3)密度線性方程式存在理論誤差，密度不存在線性關(guān)系，其誤差影響無法消除。進(jìn)入色度評價時代，建議停止使用密度線性方程式。