花崗巖顆粒流模型循環壓縮作用下能量特征分析*

龍恩林，陳俊智

(昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明 650093)

0 引言

金屬礦產資源作為世界各國重要的工業原料，對國民經濟發展和科技進步有著舉足輕重的作用，就我國而言，礦產資源經過多年的開采，位于淺部的資源逐年減少或已枯竭，因此我國金屬礦山資源開采正處于向深部全面推進的階段，進入深部開采后，巖體的結構和力學性質會發生重大變化，淺部的硬巖可能會變為軟巖，彈性體可能變為塑性體，尤其是在深部高地應力作用下的硐室開挖、采場爆破、巷道支護等施工性周期荷載擾動作用會進一步擴大，從而使得巖體力學性質更加難以把控，而能量轉化作為巖體各種物理變化的本質，研究能量變化對解決工程實際問題有著重要意義[1]。

因此，有許多學者對巖石在受力過程中的能量變化進行了大量研究，如鄧華鋒等[2]研究了砂巖在單軸循環加卸載作用下應力-應變滯后現象對能量參數計算的影響并提出了能量參數的修正計算方法；何明明等[3]建立了單軸循環荷載下砂巖的耗散能隨循環次數變化的能量演化方程；張楚旋等[4]探討了不同應力路徑下花崗巖卸荷破壞過程的能量耗散特征，認為能量耗散與時間呈非線性關系，且隨著施加圍壓的增大，相同變形情況下能量耗散也越大；張志鎮等[5]分析了紅砂巖在加載過程中的能量分配規律，并認為巖石的彈性能密度-應力曲線更能夠反映材料的力學性質，表現出比應力-應變曲線的優越性；蘇國韶等[6]利用自主開發的真三軸巖爆試驗系統實現了巖爆碎塊耗能的定量分析，得出不同加載速率下，巖爆碎塊耗能均以剪切耗能為主的結論；ZHANG等[7]使用SEM對不同加載速率下大理巖的斷口形貌進行了分析，結果表明巖石動態斷裂時的能量明顯大于靜態時的；JIANG等[8]對煤樣進行了三軸加卸載試驗，認為累積耗散能量呈指數函數形式增長；SUN等[9]研究了砂巖三軸循環加卸荷下的損傷演化，提出了1種基于等增幅多重循環加卸荷試驗的巖石損傷演化模型。以上能量研究主要基于宏觀力學參數(應力-應變曲線)積分計算求得，而在積分求解時曲線的滯后效應等必然導致結果的誤差，因此有學者從細觀力學角度出發，采用數值模擬軟件定量計算出試件在加卸載過程中的能量大小，如王云飛等[10]結合室內單軸試驗和PFC顆粒流數值模擬軟件獲得了花崗巖的細觀力學參數，研究了不同圍壓下的花崗巖能量演化機制；溫韜[11]通過PFC數值模擬對錦屏砂巖進行了循環加卸載數值試驗，分析了其在破壞過程中摩擦能、動能以及應變能等細觀能量的演化規律；陳子全[12]用PFC數值模擬軟件的破裂源機理對巖石的破裂及其能量機理進行了分析；姜耀東等[13]運用FLAC數值模擬軟件結合巖石CT掃描結果，進行了多載速率下單軸數值模擬，得出了加載速率增加將會使能量耗散和積聚更早發生的結論。

就以上研究成果而言，對常規受力下巖石破壞時的能量轉化研究較多，但對花崗巖在周期荷載作用下應力-應變曲線不同變形階段的能量變化機理研究較少，而花崗巖作為地下開采所面臨的普遍巖體，因此，本文在室內單軸試驗的基礎上，結合PFC顆粒流數值模擬軟件對各階段的能量變化(總能量、彈性應變能和耗散能)進行詳細研究，其結果對深入了解花崗巖在周期荷載下的力學特性和能量破壞機制有一定參考意義，同時也為礦山對施工擾動下礦柱的安全性分析給予一定幫助。

1 花崗巖室內試驗與數值模擬

1.1 花崗巖室內試驗

本次試驗試件取自云南某礦山，將其按照工程巖體試驗方法標準制備成100 mm×50 mm×50 mm的長方體試件，選取其中完整性較好地試樣進行單軸壓縮試驗，從而得到相關力學參數以便進行后續數值試驗。室內試驗系統采用TAW-2000巖石三軸試驗機，加載時采用應力控制，加載速率為0.5 kN/s。室內試樣宏觀力學參數：平均強度為75.2 MPa，彈性模量為32.31 GPa，泊松比為0.16。

1.2 數值模型與試驗

顆粒間的相互作用以顆粒流接觸本構模型來表征，在PFC顆粒流數值模擬軟件內置的眾多接觸本構模型當中，平行黏結模型因其在拉伸或剪切斷裂時可以有效模擬巖石類材料而被廣泛應用[14-16]。因此本文采用平行黏結模型來表征花崗巖顆粒間的膠結物，數值試驗計算模型與室內試驗試件尺寸保持一致，在結合JENSEN等[17]學者關于試件尺寸D和內部顆粒平均粒徑d50的比值大于30～40時，顆粒數量的多少對模型結果不會產生顯著影響的前提下，通過試錯法多次調節細觀參數，以數值模型求解得到的應力-應變曲線與室內試驗曲線相吻合為準則完成了模型的標定，其標定結果對比如圖1所示，初始數值模型與構架如圖2所示。

圖1 室內試驗和數值試驗應力-應變對比Fig.1 Comparison of stress-strain diagrams for laboratory tests and numerical tests

圖2 初始數值模型與構架Fig.2 Initial numerical model and architecture

數值試驗方案為常規單軸壓縮和循環加卸載，循環應力水平約為峰值應力的20%～40%，循環次數為1，2，5，10，25，50，100，200以及300，盡可能模擬實際工程中的循環擾動，從而得到逼近于實際的結論。

2 能量特征分析

2.1 能量原理

能量轉化作為材料各種參數變化的本質特征，貫穿于巖石變形破壞的始終，謝和平等[18]根據熱力學第一定律，假設巖體在外力作用下產生變形且該過程中沒有與外界進行熱交換，則有：

U=Ud+Ue

(1)

式中：U為外力對巖石所做的總功；Ud為受力過程中巖石所耗散的能量；Ue為受力過程中巖石所存儲的彈性應變能。

圖3為可釋放彈性應變能與耗散能對應關系，其中陰影部分為巖石在受力過程中存儲于自身的彈性應變能，Ud為卸荷彈性模量Eu與應力-應變曲線所圍成的面積。

圖3 可釋放應變能與耗散能對應關系Fig.3 Corresponding relationship between releasable strain energy and dissipated energy

2.2 能量轉化分析

巖石在受力致破壞過程中涉及到眾多能量轉化，如彈性變形對應的彈性勢能、塑性變形對應的塑性勢能、裂紋生成與擴展所需的表面能、巖石破壞后產生動能、輻射能以及其他各種尚未發現的能量形式等等。現采用PFC數值模擬軟件對巖石破壞過程中主要的能量轉化(總能量、彈性應變能與耗散能)進行分析。

圖4為2次循環下各能量與裂紋隨應力-應變的變化曲線，將曲線分為4個階段：

圖4 能量與裂紋隨應力-應變的變化曲線Fig.4 Curves of energy and crack change with stress-strain

1)初始壓密階段(OA)：PFC數值模擬軟件在初始建模時就對模型內部顆粒進行了重生壓密，顆粒間接觸相對均勻，因此應力-應變曲線偏向于線性化增長且壓密不明顯，就該階段能量而言，外界對試件所做的總功基本都轉化為彈性應變能，沒有裂紋產生，能量耗散基本為零。

2)彈性階段(AB)：A點處總功與彈性應變能開始分離，產生的少量耗散能主要用于循環時顆粒間的摩擦，粒間黏結鍵的少量斷裂，微裂紋的萌生等，因此耗能較小，試件宏觀上表現為線彈性；循環結束后隨著加載的進行，彈性應變能存儲速率和能量的耗散速率逐漸加快，且二者皆呈現出線性穩定增長的趨勢。

3)屈服階段(BC)：試件進入屈服階段后，雖然其能量轉化仍以彈性應變能的存儲為主，但耗散能不斷增加，內部損傷的累積開始，并于B點處產生少量可見裂紋，隨著裂紋數量的不斷產生，耗散能增長速率也不斷增大，呈現出“下凸”型增長；相反，彈性應變能的存儲開始減緩，且其增長速率于峰值點C附近減小為0。總體而言該階段彈性應變能增速開始變緩，耗散能增速不斷增加，可見裂紋開始顯現并迅速增加。

4)峰后階段(CD)：彈性應變能在峰值點C附近達到儲能極限，前期存儲的彈性應變能開始急劇釋放，主要用于內部新裂紋的產生以及宏觀破裂面的貫通形成，裂紋數量也于該階段激增直至試件全面破裂而停止；而相應的耗散能也因試件損傷的加劇開始迅速增長，并處于該階段能量占比的主導地位(46.8%～60.4%)。

從以上可以看出，在巖石受力致失穩破壞的整個過程中，能量急劇釋放是導致巖石失穩破壞的真正原因，峰值點C之前主要是彈性應變能的存儲和能量的緩慢耗散；峰值點C之后則是彈性應變能的急劇釋放，耗散能的快速增加，裂紋的不斷增長。

2.3 耗散能特征分析

巖石能量的耗散是巖石失穩破壞的本質屬性，反映的是巖石內部微觀缺陷(裂紋、孔洞)的產生、擴展和貫通，材料強度不斷弱化并喪失的過程，有學者以循環過程中形成的滯回環面積大小來描述耗散能[2]。圖5為循環荷載作用下單次循環耗散能數值與循環次數的關系曲線，由圖5可知，顆粒流數值模型在循環荷載過程中耗散能的發展隨循環次數大致呈現出線性變化，該變化過程可劃分為2個階段，即：初期等速發展階段(AB)以及后期加速發展階段(BC)。其中初始階段，耗散能隨著循環次數等速穩定增長，這主要是由于顆粒流數值模型密實度較高，內部微觀缺陷較少，壓密階段消耗的能量較少，每循環1次就形成1個滯回環，耗散能穩定緩慢增長；而后期加速發展階段(BC)，在循環次數達到一定量級時，多次循環下巖石內部累積的損傷開始顯現，能量主要消耗在顆粒間的摩擦、內部微小裂紋的萌生和生成新的塑性區上，每多循環1次，內部損傷便得到累積，因此在高循環次數下，循環耗散能數值于后期更趨向于加速增長的狀態。

圖5 耗散能隨循環次數變化的關系曲線Fig.5 Relationship curves between dissipated energy and number of cycles

圖6為峰值強度之前耗散能隨軸向應力變化的關系圖。從圖6可知，不同循環次數下耗散能隨軸向應力變化的散點圖幾乎重合，這主要是數值模型的同一性所致；從速率上看，散點圖的擬合曲線呈現為非線性增長，先慢后快，初期主要是由于顆粒流模型內部接觸良好，初始缺陷耗能較少所致，對應于圖4中OA段；隨后試件進入彈性階段，對應于圖4中AB段，雖然此時試件內部被進一步壓實，但是由于應力的加大和集中，內部依舊會有微小裂紋的發育擴展等行為，導致耗能速率慢慢增大；當應力達到60 MPa附近時，增速達到最大，此后其能量的消耗主要用于裂紋的發展，對應于圖4中BC段。

圖6 耗散能隨應力變化的關系曲線Fig.6 Relation curve of dissipated energy with stress

2.4 耗散能的變化方程

材料的非彈性性質在任何荷載形式下都存在，即使是在低應力的條件下依舊不是完全按照彈性性質進行力學響應，在循環荷載作用下加卸載曲線路徑不重合，每次加卸載都形成滯回環，這主要由能量的損耗所致，有學者將其定義為材料的阻尼，并進行大量的試驗得出材料的阻尼耗能與應力呈現對數關系[3]。

從圖6擬合結果中可以發現，材料的耗散能與應力呈現出冪函數關系，即符合上述阻尼理論：

Ud=Kσn

(2)

式中：K，n分別為巖石相關力學性質和循環次數與應力有關的參數。

通過圖6中的擬合可得K，n的值，見表1。

表1 不同循環次數下K與n的值Table 1 Values of K and n under different numbers of cycles

假設巖石在循環荷載過程中K，n的值與循環次數N有以下關系：

K=a+bNC

(3)

n=d+eNf

(4)

式中：a,b,c,d,e,f分別為與巖石力學性質相關的參數。

則式(2)可以改寫為：

Ud=(a+bNc)σ(d+eNf)

(5)

則式(5)為一定循環次數下耗散能隨應力的變化方程，其中當a=0.000 285 7,b= 0.000 043 92,c=0.640 7,d=2.039 7,e=-0.004 55,f=0.768 22時可以得到較好的結果，如圖7所示。

圖7 耗散能隨應力變化的關系曲線Fig.7 Relation curve of dissipated energy with stress

3 結論

1)試件峰值強度前吸收的總能量、積聚彈性應變能和耗散能都隨著軸向應力呈現出非線性增長，總能量速率增長最快，彈性應變能次之，耗散能最慢。

2)彈性應變能在峰值強度附近達到儲能極限，增長速率逐漸降為0；峰后則是前期積累的彈性應變能急劇釋放，耗散能隨裂紋的發展而快速增長。

3)單次循環耗散能數值隨著循環次數的增長而加大，說明周期荷載作用下巖石內部的損傷在高循環次數下有著擴大的趨勢。

4)基于材料阻尼理論，建立了一定循環次數下耗散能隨應力變化的演化方程，其計算結果與試驗數據吻合性較好。