數(shù)學科普的華彩篇章

《大哉數(shù)學之為用——華羅庚科普著作選集》，華羅庚著，上海教育出版社2019年8月出版

華羅庚不僅是應(yīng)用數(shù)學理論的研究者，也是數(shù)學文化的傳播者。他在生命的后半程里，走出書齋，到學校、到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)一線，走了祖國27個省市，傾情進行科學傳播與普及工作。他寫了大量的數(shù)學科普文章，從對傳統(tǒng)數(shù)學問題的發(fā)掘演繹，到把抽象高深的數(shù)學原理作通俗化的創(chuàng)造性解析，再到在生產(chǎn)生活實際中推廣數(shù)學方法的應(yīng)用，深入淺出，娓娓道來，引人入勝，使具備中學數(shù)學水平的人就能入門學習。這些作品得到了國內(nèi)外數(shù)學界和教育界的高度贊譽。

請看華羅庚談“蜂房問題”的華彩篇章。

蜜蜂是無與倫比的偉大建筑師，在人類有史以前就用蜂蠟建造出了密合度最高、所需材料最簡、可使用空間最大的蜂房，其展現(xiàn)出的數(shù)學才華，令人類嘖嘖稱奇。藝術(shù)家們模仿蜂巢做出了各種藝術(shù)品，工程師們利用蜂巢原理來改善房屋的建筑性能，科學家通過對蜂房的研究，把蜂房的原理應(yīng)用到了通信、飛機和航天器等領(lǐng)域……數(shù)學家華羅庚是怎么看待蜂房問題的呢？

1.始于“有趣”

華羅庚是在一本通俗讀物中看到有關(guān)蜂房的內(nèi)容描述的，18世紀初，法國學者馬拉爾琪曾經(jīng)測量過蜂窩的尺寸，得到一個有趣的發(fā)現(xiàn)，六角形窩洞的六個角都有一個一致的規(guī)律：鈍角等于109°28'，銳角等于70°32'。法國物理學家列奧繆拉由此得到一個啟示，蜂窩的形狀是不是為了使材料最節(jié)約而容積最大呢？瑞士數(shù)學家克尼格也得出了類似的結(jié)論：要消耗最少的材料制成最大的菱形容器，它的鈍角和銳角的角度接近于上述的數(shù)值。華羅庚為此深深著迷：小小蜜蜂在人類有史以前所已經(jīng)解決的問題，竟要18世紀的數(shù)學家和物理學家用高等數(shù)學才能解決呢！

2.繼之“困惑”

什么樣的六角形窩洞的鈍角等于109°28'，銳角等于70°32'？六角形六內(nèi)角的和等于720°，每個角平均120°，而109°28'與70°32'都小于120°，因而不可能有這樣的六角形！“六角形”和“菱形”都是平面圖形的術(shù)語，怎么用來刻畫一個立體結(jié)構(gòu)“窩洞”或“容器”呢？

3.于是“訪實”

華羅庚請教了昆蟲學家，找個實物蜂房來觀察，才知道既說“六角”又說“菱形”的意義。原來從正面來看蜂房是由一些正六邊形所組成，每一個角都是120°，并沒什么角度的問題。問題在于房底。蜂房并非六棱柱，而是把六棱柱的一端切下三個同樣的角，并搬移堆砌，使它的底部由三個相同的菱形所拼接而成。而蜂巢就是由兩排這樣的蜂房底部和底部相接而成的。

4.初步“解題”

初步形成并解決一個數(shù)學問題：怎樣切出來使所拼成的三個菱形做底的六棱柱的表面積最小？

5.“淺化”“慎微”

嘗試尋找最簡單的數(shù)學工具解決問題，并小心留意，提出的幾何問題和解題時所討論的代數(shù)問題不一定是完全等價的。

6.退而“疑古”

經(jīng)計算而得的容積一樣而用材最省的數(shù)據(jù)比例與實測蜂房的尺寸數(shù)據(jù)并不相合，因而使人不得不懷疑前人已得的結(jié)論。華羅庚為此感嘆：往事幾百年，祖述前賢，瑕疵訛謬猶盈篇，蜂房秘奧未全揭，待咱向前！

7.切入“正題”

由此看來蜂房問題并不是一個單純的“體積給定，求用材最小”的數(shù)學問題，必須把蜜蜂的“體態(tài)”入算，從考慮它的身長、腰圍入手，怎樣情況用材最省？通過推算，在“量體裁衣”的考量下，形狀為尖頂六棱柱的蜂房是最省材料的結(jié)構(gòu)。這生動地說明了生物本身與環(huán)境的關(guān)系的統(tǒng)一性。至此，蜂房的數(shù)學問題算是得到了解決。

8.進而“設(shè)問”

華羅庚認為，以上只不過從六棱柱（或四方柱）出發(fā)，按一定的切拼方法做了些研究而已。實質(zhì)上，這樣的看法未入事物之本質(zhì)。為什么僅從六棱柱出發(fā)，而不能從三角柱、四方柱或其他柱形出發(fā)，乃至于為什么要從柱形出發(fā)？更不要說切拼之法也是千變?nèi)f化了！甚至于為什么要從切拼得來！越想問題越多，思路越寬。比如，由蜂房問題可以引出有名的晶體問題——怎樣的體可以作為晶體？也就是說，用同樣的體可以無窮無盡地、無空無隙地填滿整個空間。由柱體填滿空間問題還可想到其等價問題：怎樣的樣版可以填滿平面的問題。進而設(shè)想填滿一個球或一個圓柱的問題……

由蜂房啟發(fā)出來的問題，真是讓人浮想聯(lián)翩、由此及彼、由表及里、回味無窮啊！

華羅庚并未就此止步，為了讓進入大學之后的學生還能咀嚼回味思考，他又從“代數(shù)”“幾何”“推廣”“極限”“抽象”等方面對蜂房問題進一步作了深入探討。

華羅庚之所以把自己的思考過程源源本本地娓娓道來，是想借由對蜂房問題的解析，為我們提供一個思考、解決疑難問題的生動的樣例：有趣—困惑—訪實—解題—淺化—慎微—疑古—正題—設(shè)問—數(shù)形結(jié)合—推而廣之—極限抽象……這樣一個思維過程是科學家，特別是數(shù)學家，認識問題、解決問題的一般途徑。思維方式是探索未知的導(dǎo)航器，習慣于思考聯(lián)想的人一定會走得深些遠些;沒有思考聯(lián)想的人，雖然讀破萬卷書，依然看不到書外的問題。

以上資料取自華羅庚《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學問題》一文。1984年，上海教育出版社出版了《華羅庚科普著作選集》，該書中收錄的每一篇文章都得到了華羅庚的過目和認可，上文便是其中的一篇。《選集》出版后獲得了無數(shù)榮譽，最近的一次是在2018年被評為“改革開放40年中國最具影響力的40本科學科普書”之一。2019年初，上海教育出版社對這部名著作了修訂，重新編輯整合梳理，概括提煉內(nèi)在主旨，書名為《大哉數(shù)學之為用——華羅庚科普著作選集》（同時出版的還有華羅庚的弟子王元先生的大作《大哉言數(shù)——王元科普著作選集》）。讀者可以從書中了解到華羅庚傳奇的求學經(jīng)歷，偉大的數(shù)學成就，深邃的數(shù)學思想和非凡的數(shù)學普及工作。

也許有人會問：現(xiàn)在華羅庚的科普作品是否已經(jīng)過時？答案當然是否定的。就像2000多年前歐幾里得的經(jīng)典幾何學，始終是初中數(shù)學繞不開的內(nèi)容，華羅庚當年總結(jié)的數(shù)學思維規(guī)律、數(shù)學建模思想，至今都是數(shù)學學習的“金鑰匙”;華老談及“楊輝三角”“祖沖之的圓周率”“數(shù)學歸納法”“有限與無窮，離散與連續(xù)”等內(nèi)容的篇目，觀點高屋建瓴，敘述透徹本原，分析入木三分，如果能讀懂讀透，則勝過讀很多本一般數(shù)學普及讀物;華老獨特的“由薄到厚，再由厚到薄”的讀書法，“下棋找高手，弄斧到班門”的求學法，“搜煉古今”的治學法，都是非常高明的。

華羅庚先生的學生、中國科學院院士王元先生曾經(jīng)有言：華老已經(jīng)離開我們了，他留給我們的精神財富是豐富的，我們要把他的學問、品德與情操告訴后人，使后人從他的事跡中得到啟發(fā)與教益。在我們看來，《大哉數(shù)學之為用——華羅庚科普著作選集》一書并不只是傳播數(shù)學知識，還承載了上述深刻意義。