有多少錯可以重來

在數學學習中，數形結合是一種典型的幾何直觀方法。下面以數軸或絕對值為背景，對同學們出現的一些錯誤進行剖析。

例1 利用數軸可以解決生活中的實際問題：小英媽媽開車從家出發，向西開了500m，到健身館游泳，然后向西開了400m到超市買菜，又向東開了1km到小英學校接她放學。（1）請以小英家為原點，以向東方向為正方向，用1個單位長度表示100m，畫出數軸，并在數軸上標出健身館、超市、學校、小英家。（2）小英家距超市多遠？小英媽媽共行駛了多少m？

【錯解】在第（2）問，有不少同學計算小英媽媽行駛的路程為：-500+（-400）+1000=100m。

【錯解分析】本題要注意條件，題中的單位有m、km，首先要統一單位;這里向東為正，向西為負，所以“+”“-”只表示方向。一些同學在做題過程中，忘了路程不能為負數這一事實。小英媽媽行駛的路程應該是所有路程的和。

【正解】（1）規定小英家為原點，向東的方向為正，向西為負，一個單位長度表示100m，畫出數軸如圖1。

圖1

（2）由圖可知：小英家距超市900m。根據絕對值的意義，列出算式：[-400]+[-500]+[1000]=500+400+1000=1900m。小英媽媽共行駛了1900m。

變式1 某出租車從停車場出發，沿著東西向的大街行駛。到晚上6時，出租車一天行駛記錄如下（向東記為正，向西記為負，單位：km）：+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、

+12、-5、-7。（1）到晚上6時，出租車在什么位置？（2）若汽車每km耗0.2L油，則從停車場出發到晚上6時，出租車共耗油多少L？

參考答案：（1）出租車在停車場東面16km處;（2）出租車耗油13.2L。

例2 [4-1]表示4與1差的絕對值，也可以理解為4與1兩個數在數軸上所對應的兩點之間的距離;[4+1]可以看作[4--1]，表示4與-1的差的絕對值，也可以理解為4與-1兩個數在數軸上所對應的兩點間的距離。請根據以上表述，計算：

（1）[4--1]= 。（2）[5+2]= 。（3）利用數軸找出所有符合條件的整數x，使得[x+3]=5，則x= 。（4）利用數軸找出所有符合條件的整數x，使得[x+3]+[x-2]=5，這樣的整數x是 。

【錯解】（1）（2）較基礎，正確率較高。

（3）中，一些同學只得出x=2，漏解x=-8。

（4）中，同學們的錯誤也是漏解，大多數同學會寫出x=0、-3、2。

【錯解分析】（3）中，同學們習慣于2+3=5，而忽略絕對值的概念。實際去掉絕對值符號，得x+3=±5。（4）有一定的難度，同學們會湊答案，而不會去畫數軸，利用絕對值的幾何意義解決。

【正解】（1）5;（2）7。

（3）[x+3]=[x--3]=5，這可以理解為：到-3所對應的點的距離為5個單位長度的整數點有哪些？我們利用絕對值的幾何意義畫出圖2，從數軸上可直接得出，x=2或-8。

圖2

（4）我們可以這樣來變形：[x+3]+[x-2]=[x--3]+[x-2]=5，這可以理解為：到-3和2所對應的點的距離之和為5個單位長度的整數點有哪些？因為-3和2所對應的點的距離正好為5個單位長度，如圖3所示，在A、B兩點間的整數點有：A、C、D、O、E、B，都符合題意。所以符合題意的整數是：-3，-2，-1，0，1，2。

圖3

變式2 已知[x+3]+[x-2]=7，x是整數，則滿足該等式的x的值是。

【錯解】x是4、-5。

【錯解分析】設在數軸上，-3對應的點為A，2對應的點為B，x對應的點為D。一些同學沒有正確理解題意，誤認為AB+BD=7，或者AB+AD=7，導致錯解。

【正解】我們在數軸上把A、B兩點標出來，然后分情況討論x。

（1）當D點在線段AB內部，即-3≤x≤2時，如圖4，AD+DB=5，不合題意，舍去。

圖4

（2）當D點在B點右側，即x>2時，如圖5。因為AD+BD=7，即AB+2BD=7，又AB=5，所以BD=1。此時x=3。

圖5

（3）當D點在A點左側，即x<-3時，如圖6。因為AD+BD=7，即AB+2AD=7，又AB=5，所以AD=1。此時x=-4。

圖6

綜上，x的值是3、-4。

（作者單位：江蘇省常州市武進區坂上初級中學）