符號網絡下平衡結構對輿論形成的影響

張奧博,樊 瑛,狄增如

(北京師范大學系統科學學院，北京 100875)

0 引言

符號網絡早已是社會網絡研究的重要領域。在20世紀40年代，Heider[1]應用社會心理學領域的研究結果，提出了一種用三角形來描述以人為研究主體的關系中積極作用和消極作用方法。與之相關的基礎性理論有兩個：地位理論和結構平衡理論[6]。結構平衡理論是由社會學家Heider[1]提出的，結構平衡理論認為圖1中，a和b是平衡結構，c和d是非平衡結構。之后Davis[8]提出了弱平衡理論，認為三邊均為負號也屬于平衡結構。Cartwright[9]等人則基于結構平衡理論從圖的角度重新對其刻畫。Ernesto[10]和Alec[11]利用矩陣的秩計算符號網絡中的平衡性，通過對不同長度的環按權重求和來進行計算。符號網絡還被廣泛應用于鏈路預測、符號預測和社團劃分中，Traag[12]等人對Q函數加入符號，以對符號網絡進行社團劃分，Larusso[13]提出用模擬退火算法最大化社團內的正邊和社團間的負邊來得到結果。Agrawl[14]基于矩陣分解提出了符號網絡的鏈路預測的方法，Liu[15],Chiang[16]等人提出了對于符號網絡中未知邊的符號預測的方法。在Szell等人[17]的研究中，通過實證分析證實了平衡結構的比例是隨著時間演化而逐漸增長的，揭示了社會網絡的結構演化性質。Wu[18]等人探索結果與動態演化的關系，揭示了負邊對極化觀點的影響，Pan[19]等人提供了一種分布式數據驅動的防范驗證大規模符號網絡的結構平衡。

圖1 結構平衡理論中的三角形結構Fig.1 Triangle structures in structural balanced theory

符號網絡研究主要集中在理論探究、社區檢驗、社團劃分等網絡結構分析和動力學演化分析等,但總體來說，在符號網絡動力學的研究中，對于網絡上信息擴散、合作演化、網絡輿論形成等問題的相關研究還較少。

輿論形成是網絡動力學研究的重要主題。輿論是社會公眾對于某一觀點或事件所持意見的集合，社會輿論對于社會的發展和進步起到了關鍵性的作用，輿論的形成與傳播是社會復雜系統研究中的重要問題。特別是在信息技術飛速發展的今天，人與人之間的聯系和影響越來越緊密，社會系統的復雜性日益凸顯，基于復雜網絡方法研究輿論的動態演化、形成規律及傳播特點，具有重要的理論意義和現實意義。

本文將著重研究符號網絡上的輿論形成，探索符號網絡中的平衡結構對輿論形成的作用。基于Ising模型、多數投票模型的相關研究主要關心系統的統計性質和相變行為，在本文中，我們利用離散動力學模型，更加關注輿論形成的時間演化行為，關注平衡結構性質對系統演化過程和最終穩恒狀態的影響。

1 模型構建

本節主要建立符號網絡上輿論形成的動態演化模型，包括基于投票模型的頂點狀態演化以及狀態與結構的耦合演化。我們將首先討論N=20*20的二維三角形晶格網絡如圖2(周期邊界條件)，其中圓形為正節點、三角形為負節點，粗線為正邊、細線為負邊，在第3節中把模型推廣到ER隨機網。

圖2 初始符號網絡圖Fig.2 Initial signed network diagram

1.1 節點狀態演化規則

考慮網絡中的頂點(個體)i，它有兩種態度可以選擇，用自旋Si來表示它對某問題的具體態度，自旋向上(Si=+1)代表支持，自旋向下(Si=-1)代表反對；節點之間的連邊Aij代表個體之間的關系，+1代表積極關系，傾向于使兩個體的態度相同，-1代表兩節點間的關系為消極關系，傾向于使兩個體的態度相反，演化過程個體態度通過符號網絡受到與其有聯系的其他個體觀點的影響，我們假設個體i態度演化動力學為：

(1)

依據多數投票模型，網絡中每個個體的態度由上一步中鄰居節點態度的大多數來決定，大多數人的態度選擇對個體影響程度由pc決定。在本文中，我們暫不考慮節點狀態隨機取值的情形取pc=1，完全由多數規則決定個體狀態演化。

1.2 連邊演化規則

在模型中，我們將同時在演化過程中考慮個體關系的改變，兩節點間連邊的正負號會在一定程度上由兩節點的態度所決定，建立其動力學演化機制如下：

(2)

如果兩個相鄰個體態度相反，則在一定程度上可認為兩者的關系也存在負向作用，態度相同則認為關系為正向，所以給出動態演化中連邊的演化規則，連邊的狀態有一定概率由其連接兩節點的狀態給定，否則不改變連邊狀態。其中，pc′為連邊按連接兩節點狀態改變的概率。將連邊演化規則與節點狀態演化規則相結合更能體現真實狀況，態度觀點的改變也可能會引起個體間關系的變化，關系的改變也會作用到個體的態度演化。

2 演化模擬與結果

2.1 負邊比例與平衡結構比例的關系

根據圖1中4種三角形結構計算平衡結構比例，對于任意3個節點i,j,k，設它們之間的連邊的值分別為Aij、Aik、Ajk，則其結構性質由式(3)決定：

(3)

因此，給定符號網絡中負邊的比例p，則(1-p)3為圖1中(1)所占比例，3*p2(1-p)為圖1中(2)所占比例。忽略三角形之間的相關性可知晶格網絡中平衡結構比例與負邊比例p的函數關系為：

f=(1-p)3+3*p2(1-p)

(4)

圖3 負邊比例與平衡結構比例關系圖Fig.3 The relationship between ratio of negative edges and ratio of balanced structures

從0到1以間隔0.005給定負邊比例，隨機生成一組符號網絡計算平衡結構比例，得到負邊比例與平衡結構比例的模擬結果，并與理論值進行對比。如圖3，橫坐標為符號網絡中的負邊比例，縱坐標為該負邊比例下平衡結構的比例，實線為模擬結果，虛線為根據公式(4)計算得出的理論值，能夠較好進行擬合。

2.2 節點狀態演化模型

圖4 不同負邊比例下節點狀態平均值〈S〉變化圖Fig.4 The change diagram of 〈S〉 under different ratios of negative edges

當負邊比例為0時，符號網絡中點的狀態由隨機分布逐漸演化為分為正負兩個區域，平均演化到50步后平均值〈S〉及所有節點均達到穩定狀態，最終狀態為點均為正或點均為負，也有可能會出現正負節點分為兩個區域的現象。在負邊比例為100%時，平均演化到100步左右時平均值〈S〉及所有節點均呈二倍周期狀態，如圖4b，最終狀態為點均為正或均為負或分為兩個區域波動。

當負邊比例介于0～100%之間時，呈現一種偽隨機狀態，整體波動無趨勢，部分節點呈二倍周期的變化。分別對負邊比例為25%、50%、75%的情況進行模擬，結果如圖4c、d、e所示，將3個結果進行對比(見圖4f)，可以發現隨著負邊比例的增加，〈S〉波動的平均值會越來越趨向于0，波動的幅度也會增加。從微觀角度來看，存在部分節點呈二倍周期波動，將二倍周期變化的節點提取出來如圖5，發現負邊比例越大，二倍周期變化節點越多，越容易出現節點分區變化的現象。

本文認為這種波動規律與網絡中的平衡結構比例有重要的關系，因此計算了在不同平衡結構比例下波動最大幅值與波動的平均值，所有比例下的演化在300步后都趨于一個相對穩定的狀態，因此計算每次演化300-800步的波動的平均值以及最大幅值(波動最大值)，取多次結果進行平均結果如圖6所示，隨著平衡結構比例的增加，波動的平均值越趨近于0，最大幅值呈下降趨勢，說明了符號網絡的平衡性對波動性的影響。

圖5 25%、50%、75%負邊比例周期變化節點結構圖Fig.5 The period changing nodes’ diagram under different ratios of negative edges

在節點狀態演化模型中，平衡結構比例對符號網絡演化的波動性有著重要的作用，比例越低，越易使網絡產生二倍周期波動的現象，越易形成觀點一致且保持相同周期變化的小集團，波動的最大幅值越大，平均值越小。

2.3 節點狀態與連邊耦合演化結果

節點與連邊耦合演化模型中，在對點進行演化的基礎上，加入對邊的演化規則(5)，進行演化。在0、25%、50%、75%、100%五種比例的符號網絡下觀察演化的過程及結果。同時在邊按概率的演化規則基礎上，使邊在不同的時間尺度下進行演化，觀察結果。

(5)

圖7 耦合模型下符號網絡〈S〉演化結果Fig.7 The results of 〈S〉 under coupled model

當邊每一時間步變化一次且按照pc′=100%進行演化時，會在演化至60步左右時，平均值〈S〉和部分節點會呈現二倍周期的波動狀態，如圖7a所示，pc′=50%進行演化時，平均值〈S〉和所有節點會呈現穩定狀態，如圖7b所示。 由于現實生活中關系變化的時間尺度一般會長于態度的變化，所以改變時間尺度使邊每10個時間步變化一次，時，pc′=100%演化至20步左右，〈S〉和所有的節點都會呈現穩定的狀態，如圖7c所示，pc′=50%時，演化至50步左右，平均值〈S〉和所有的節點都會呈現穩定的狀態，如圖7d所示。發現降低連邊演化的概率會延長系統達到穩態的時間，在連邊演化的規則下，符號網絡的平衡性會隨連邊的演化而逐漸提高，圖8為pc′=50%，時間尺度為10時平衡結構比例的演化情況，發現隨著演化的進行系統的平衡性增強。

圖8 耦合模型下平衡結構比例的變化趨勢圖Fig.8 Trend diagram of the proportion of the balanced structures under the coupled model

當連邊演化的時間尺度為10時，在關注演化過程中的微觀結構時可以發現，在10個時間步以內負邊比例為0%或100%時會明顯區分出兩個狀態相反的集團，但是當在連邊進行演化之后不會產生節點狀態全部趨同的情況，而是分成集團，集團內的節點狀態均穩定且相同。

綜上所述，節點與連邊耦合演化時，邊的演化概率pc′=100%，平均值〈S〉和部分節點會呈現二倍周期的波動狀態，當改變演化概率pc′和邊變化的時間尺度時，平均值〈S〉和所有的節點都會呈現穩定的狀態，初始平衡結構比例對演化結果無明顯影響，演化過程中平衡結構比例不斷增加。

3 隨機網絡與完全平衡隨機網絡對比結果

根據連邊的演化規則，邊的演化概率pc′=100%，只需對連邊進行一步演化，就可以構成一個完全平衡的網絡結構。為研究網絡平衡性對輿論形成的影響，分別生成隨機符號網絡和完全平衡的隨機網絡，對節點賦予相同的初始狀態并進行演化。分別生成負邊比例為10%、20%、30%、40%、50%的隨機符號網絡和完全平衡網絡，按照節點狀態演化規則進行演化。

(6)

觀察演化結果，發現在平衡網絡下，上述負邊比例的符號網絡中節點的平均狀態〈S〉和所有節點的狀態最后均能達到穩定的狀態，如圖9a所示，對每一比例分別進行10次計算，得到其達到平衡的平均演化步數為6.06步且在不同比例間沒有顯著差異；但是隨機網絡平均狀態會呈波動狀態如圖9b所示，平均在200步左右會出現圍繞一個均值波動的情況。

圖9 完全平衡網與隨機符號網〈S〉值對比Fig.9 Comparison of 〈S〉 between fully balanced network and random symbol network

在演化過程中，記錄所有節點的演化，根據節點的狀態分為正節點和負節點兩個社團，并用鄰接矩陣表示，將狀態為正的節點置于前一部分，狀態為負的節點置于后一部分，再對邊的鄰接矩陣進行變換，并且隨演化進行，社團內節點是變化的，鄰接矩陣隨演化調整，得到每一時間步下變換后的鄰接矩陣，并將正邊標記為圓形，負邊標記為三角形，如圖10所示。發現在平衡網絡下，隨著演化的進行，最終會形成社團內的連接均為正，社團間連接為負的兩個社團。

圖10 完全平衡網連邊矩陣演化過程圖Fig.10 the evolution diagrams of completely balanced network’s Adjacency matrix

4 結論

計算在不同負邊比例下的三角形平衡結構，得到平衡結構比例隨負邊比例的變化曲線，發現能很好地通過給定負邊比例計算平衡結構比例理論值；在對節點狀態的演化模型中發現，負邊比例會影響網絡平衡性，進而影響系統穩定狀態的群體一致性，非平衡結構比例越高序參量越靠近0點，越易產生周期變化，在負邊比例為0%時會出現狀態趨同的現象，比例為100%時，全部節點均呈二倍周期變化；可以觀察到整體演化結果存在著趨于系統輿論平衡和周期變化情形，可以發現，產生周期變化的構型由非局域平衡結構以及頂點狀態共同決定；邊與狀態的耦合演化，特別是考慮相互作用調整與狀態演化的時間尺度差別時，會增加系統演化的復雜性，系統會具有更豐富的穩態演化模式，連邊調整的概率和時間尺度的引入會影響耦合演化的周期變化；完全平衡網絡能加速系統輿論趨于穩定狀態，并且有利于區分符號網絡中的正負節點，將其分為兩個社團。