平面向量在數學中的若干應用

陳偉龍

一 、引言

平面向量在數學、科學技術中有著非常廣泛的應用，它是近代數學中最基本和最重要的概念之一，是溝通幾何、代數、三角等基本內容的橋梁，還是研究力學、電學和其他自然科學的有效工具。從數學的發展史來看，在相當長的一段時間內向量并未引起數學家們的重視，直到20世紀初被引入到中學數學。我國是在1996年高中數學大綱中引入了平面向量的，而近幾年，平面向量已經成為高中數學中必不可少的一部分，尤其最近幾年高考數學中的比重逐年增加，更是對不少題目的解題提供了捷徑。本文通過若干實例來談一談平面向量在中學數學中的應用，以求更簡便地解決數學問題。

二、向量在不等式證明的應用

在解決數學問題中，不等式證明題是比較難的，是很多同學們最頭疼的問題，如果能夠巧妙利用向量的知識，就能做到化難為易既簡便又快速。

例1：設a，b，c，d∈R，求證（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

證明：設向量m→=（a3，b3），n→=（c，d），再設向量m→與n→的夾角為θ

則（m→·n→）2=（a3，b3）·（c，d）2

=（a3c+b3d）2=m→n→cosθ2

即（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

點評：對于傳統的不等式的證明要用到分析法、綜合法、作差法等各種“技巧”，證明的過程會比較冗雜而恰恰利用向量的數量積的定義，便能使整個證明過程簡明扼要，從而節省時間而且使數學更加有趣。

三、向量在立體幾何中的應用

立體幾何是數學考試中必考的內容，由于一些題中圖形比較復雜，需要學生有很好的空間想象能力，因此在解立體幾何的題目時，很多方法相當繁瑣，對那些空間想象能力較差的同學就難于進行求解。但如果我們運用以下方法求解就會有不同的效果。

例2：已知二面角α-l-β的度數為120°，AC在二面角α內，BD在二面角β內，且AC⊥l，BD⊥l，AB=1，AC=3，BD=4，求CD的長。

解：設向量AC，BD，AB

∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB=0，AB·BD=0

又∵二面角α-l-β的度數為60°

∴CA，BD=180°-120°=60°

CD=CA+AB+BD

CD=CA+AB+BD

=CA+AB+BD·CA+AB+BD

=CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2AB·BD+2BD·CA

=38

點評：本例是比較常見的立體幾何，也是不少學生選擇放棄的題目，本題結合向量的加法運算和減法運算、向量的數量積三種技巧解題，往往可以達到事半功倍的效果，縮短了解題的時間。

四、平面向量在最值的應用

向量的坐標是代數與幾何聯系的紐帶，是平面向量的重點內容，對于求函數最值的問題，直接利用向量的坐標表示，就有意想不到的效果。

例3：求函數y=3x-4+45-x的最大值

解：設向量a→=（3，4），b→=（x-4，5-x）

∴a→·b→=3x-4+45-xa→b→

=32+42（x-4）2+（5-x）2=5

當且僅當a→與b→平行時取等號

即a→=kb→（k>0），解得x=10925=4.36（滿足4x5）

∴函數y=3x-4+45-x的最大值為5.

點評：本例如果采取常規方法（用三角函數進行設元，或者用柯西不等式），顯然這對一些基礎較差的學生來求解有點勉為其難，但是采用向量的坐標法，不僅解法簡捷明了而且易理解，易上手。

五、在平面解析幾何的應用

點可以看作是幾何中的基本元素，而往往把幾何圖形又看作是點的集合。如果把平面幾何圖形放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算.從而使問題得到解決。

例4 已知三個點A（5，5）B（1，3）C（2，1）。

（1）求證：AB⊥BC.

（2）要使四邊形ABCD為矩形，求另一個頂點的D坐標并求矩形ABCD兩條對角線所夾的銳角的余弦值。

（1）證明：∵A（5，5）B（1，3）C（2，1）

∴AB=（1-5，3-5）=（-4，-2），BC=（2-1，1-3）=（1，-2）

又∵AB·BC=（-4）×1+（-2）×（-2）=0∴AB⊥BC故AB⊥BC

（2）解：依題意，設頂點D的坐標為（x，y）

∵四邊形ABCD為矩形

∴AB=DC AB=（1-5，3-5）=（-4，-2） DC=（2-x，1-y）

即（-4，-2）=（2-x，1-y）

∴X=6

Y=3故D的坐標為（6， 3）。

這時CA=（3，4），BD=（5，0），而

CA=5，BD=5，CA·BD=3×5+4×0=15

設CA與BD的夾角為θ，則cosθ=CA·BDCA·BD=1525=35

故矩形ABCD的對角線所夾的銳角的余弦值為35。

點評：本例是典型的平面幾何問題，如果利用平面幾何知識證明、求解，很難找到突破口，而且思維過程較復雜、計算量大，但用向量法處理就可使得問題變得簡單多了，學生也易理解、掌握。

六、在解三角形中的應用

一般情況下，我們在解三角形中經常會用到正弦定理和余弦定理，而對這兩條定理的證明往往采用傳統方法給出，而向量法的使用，突破了傳統方法的一些不便之處（如繁雜、難懂等），同時簡捷明了，構造思想也易于接受，對培養創新思維很有幫助。

例5：在ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，

求證：a2=b2+c2-2bccosA

證明：設BC=a→，AC=b→，BA=c→

a→2=BC2=BC·BC=（BA+AC）（BA+AC）

=BA2+AC2+2BAACcos（180°-A）

=BA2+AC2-2BAACcosA

故a2=b2+c2-2bccosA

點評：本例巧妙引用向量，運用數量積，解決余弦定理的證明，讓人回味無窮。

從上述例子可以看到， 把平面向量引入數學領域之后，不僅有數的精確又有形的直觀，在解決許多數學問題確實有其獨特之處，而且方法和手段比較新穎、易懂、簡潔，受到學生們的歡迎。因此在課堂上要樹立應用向量的意識，充分挖掘課本素材，從推導有關公式、定理，例題講解入手，讓學生去品味、去領悟，在公式、定理的探索中逐漸體會向量的，逐漸形成應用平面向量的意識。同時還要把學生的思維進行深化，把直覺思維逐步引向理性邏輯思維.此外，在教學中還應注重引導學生善于思考，探索相關的問題，加以引申使之成為解題方法，做練習，有意引導學生用平面向量的方法去解決問題，加深印象，鞏固知識，體會平面向量解題的優越性，讓數學的學習變得更加簡便而有趣。

責任編輯 朱守鋰